18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники

• Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным.

• Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

• Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

• Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d можно вычислить по формулам:

,где p – полупериметр, R – радиус окружности.

• Если a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,  – его полупериметр, а α – сумма его противоположных углов, то площадь S четырёхугольника равна

.

В качестве α здесь можно взять сумму любой из двух пар противоположных углов, результат от этого не зависит. В случае четырёхугольника, вписанного в окружность, эта формула принимает более простой вид:

;это равенство и называется формулой Брахмагупты. Если четырёхугольник имеет и описанную и вписанную окружности, то формула становится совсем короткой: .

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180⁰ (свойство вписанных четырехугольников).

1 Действительно, пусть четырехугольник АВСД вписан в окружность (рис.3.61).Тогда сумма его углов А и С измеряется полусуммой дуг ВСП и ВЛП, составляющих полную окружность, а потому равна 180°. И Рассмотрим первый случай. Продолжим тогда сторону ВА за точку А до пересечения с окружностью Р в точке М и проведем хорду МБ (рис.3.63).Четырехугольник ВСБМ вписан в окружность Р. Как доказано, АС+ АМ= 180^о. Но АА >АМ (как внешний угол треугольника БМА), а значит АА+АС>180^о. Получили противоречие. Следовательно, точка А не может лежать внутри круга, ограниченного окружностью Р.

Тэарэма (аб акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка). Каля любога правільнага многавугольніка можна апісаць акружнасць, і прытым толькі адну. Дадзена: А ₁ А ₂А₃ ••• А_n —правільны многавугольнік. Даказаць: існуе пункт, роўнааддалены ад усіх вяршынь. Ён адзіны. Доказ. 1. Дакажам існаван- не. Няхай О — пункт перасячэння бісектрыс вуглоў А_г іА₂ (рыс. 61). Злучым пункт О адрэзкамі з астатнімі вяршынямі многаву- гольніка і дакажам, што ОА₁ = ОА₂ = ... = ОА_п. 1) Паколькі А₁ =А₂ то 1 = =3, значыць, трохвугольнік А₁А₂0 раўнабедраны і ОА_г = ОА₂. 2) Трохвугольнікі А₁А₂0 і А₃А₂О роўныя па дзвюх стара- нах і вуглу паміж імі (А₁А₂ = АзА₂, А₂О — агульная старана і 3 = 4), значыць, ОА₃ = ОА_г.

3)Аналагічна можна даказаць, што ОА₄ = ОА₂, ОА₅ = ОА₃ і г.д. 4) Такім чынам, ОА₁ = ОА₂ = ... = ОА_т, значыць, пункт О роўнааддалены ад усіх вяршынь многавугольніка. Таму акружнасць со (О, ОА₁) з'яўляецца апісанай каля многаву- гольніка.

2. Дакажам адзінкавасць. Для гэтага разгледзім якія-не- будзь тры вяршыні многавугольніка, напрыклад, А₁ А₂, А₃. Паколькі праз гэтыя пункты праходзіць толькі адна акруж- насць, то і каля многавугольніка А₁, А₂, ... А_n можна апісаць толькі адну акружнасць.