25. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
Н
а
плоскости
с координатами
рассмотрим круг
радиуса
,
описанный вокруг начала координат
.
Граница круга – окружность
(рис.4.4). Для круга сформулируем внутреннюю
задачу Дирихле для уравнения Лапласа:
в области
,
(4.34).
,(4.35)
где
- заданная функция на окружности
.
Рис.
4.4 Требуется
найти решение
.
В
полярных координатах
:
,
задача (4.34), (4.35) запишется в виде
,
(4.36).
(4.37)
Задачу
(4.36), (4.37) решим методом разделения
переменных в полярных координатах.
Согласно методу разделения переменных,
найдем все решения уравнения Лапласа
(4.36) вида
.
(4.38).Подставив
(4.38) в уравнение (4.36), получим равенство
Разделим
это равенство на
,
отделяя функции зависящие от
и функции зависящие от
,
тогда
.Выражение
слева зависит только от
,
а выражение справа - только от
,
поэтому это равенство имеет место тогда
и только тогда, когда эти выражения
являются постоянными, то есть
где
-
постоянная разделения. В результате
получим два обыкновенных дифференциальных
уравнения:
,
(4.39). Рассмотрим случай, когда
.
Общие решения уравнений (4.39) определяются
формулами
,
,
(4.40) где
-
произвольные постоянные. Рассмотрим
случай, когда
Уравнения (4.39) примут вид
Запишем
общие решения этих уравнений:
,
,
(4.41) где
-
произвольные постоянные. После подстановки
функций (4.40), (4.41) в (4.38) получим частные
решения уравнения Лапласа в полярных
координатах:
,
(4.42).
По смыслу задачи (4.36),
(4.37) решение
должно быть периодическим по углу
с периодом
,
то есть
.
Условие периодичности для функций
(4.42) будет выполнено, если
.
В результате получим последовательность
частных периодических решений уравнения
(4.36):
,
.(4.43)
Образуем общее решение уравнения (4.36) в виде линейной комбинации частных решений (4.43):
.
По
смыслу задачи решение
должно быть ограниченным в центре круга
.
В связи с этим необходимо положить
В
результате получим представление
решения задачи (4.36), (4.37) в виде разложения
в ряд
.(4.44)
Неизвестные
коэффициенты
определим из граничного
условия
(4.37). Подставляя (4.44) в (4.37), получим
(4.45). Разложим функцию
в ряд Фурье
,
(4.46) где
(4.47).
Приравнивая ряды (4.45) и (4.46), вычисляем
коэффициенты
.
Подставив
коэффициенты в разложение (4.44), получим
решение исходной задачи Дирихле (4.34),
(4.35):
(4.48).
Можно показать, что если граничная
функция
и
,
то ряд (4.48) равномерно сходится и
.
Если подставить интегралы (4.47) в (4.48) и
просуммировать ряды, то получим решение
задачи Дирихле для круга в виде интеграла
,
называемого интегралом Пуассона.
Аналогично
показывается, что решение внешней задачи
Дирихле для круга в области
определяется рядом
.