30. Решение задачи Коши для уравнения денежных накоплений. Стохастические дифференциальные уравнения в форме Ито.

Задача Коши для стохастического уравнения. Требуется определить условную плотность вероятностей случайного процесса в момент времени при условии, что случайный процесс удовлетворяет уравнениям в , (7.28) , (7.29)

где – заданная постоянная величина, .

Задача Коши для стохастического уравнения в форме Ито. Требуется вычислить плотность процесса , который удовлетворяет условиям: в , (7.30) ,(7.31)

где – дрейф; – волатильность процесса . Уравнение (7.30) называется стохастическим уравнением в форме Ито. ■

Известно, что уравнение (7.30) сводится к уравнению Колмогорова для плотности :

, . (7.32)

Сравнивая уравнения (7.27) и (7.32), заключаем, что уравнение (7.30) порождает марковский процесс , который определяется функциями , .

Для выделения единственного решения уравнения (7.32), учитывая предельное соотношение (5.32) для марковского процесса, к уравнению (7.32) добавим начальное условие и сформулируем определяющую задачу Коши (5.78):

, ,

, . (7.33)

Как известно, единственное решение задачи (7.33) является фундаментальным решением уравнения (7.32). Таким образом, решение задачи Коши (7.30), (7.31) для стохастического уравнения является переходной функцией плотности вероятностей марковского процесса , которая определяется как решение задачи (7.33) для параболического уравнения.

Марковский процесс подчиняется уравнению (7.27). Поэтому в соответствии со связью между уравнениями (7.30), (7.32) запишем стохастическое уравнение в форме Ито для процесса :

. (7.34)

Подставляя (7.34) в (7.28), преобразуем задачу (7.28), (7.29) к форме Ито:

в ,

.

26.Динамические моделир. Ден. Накоплений семьи с использ. Стохастических ду.

для функции , которая означает денежные накопления семьи, было получено стохастическое дифференциальное уравнение (6.13): ,

где , (6.32) величины , , определяются формулами (6.4), (6.7), (6.8).

Пусть – материальные накопления семьи в момент времени . Отрицательное значение величины означает материальный долг семьи. Естественно, что в большей степени скорость изменения материальных накоплений семьи опр-ся детерминированными денежными расходами . Изменение детерминированных материальных накоплений семьи в общем случае выразим уравнением , (6.33) где – приобретенное имущество в руб. за месяц ; – утраченное имущество в рублях за месяц .

Уравнение (6.33) запишем в дифф-лах и преобразуем в стохаст-ое уравнение, добавив стохаст-й дифф-л. Получим , (6.34) где ; – стохастический дифференциал; – случайные материальные накопления к моменту времени ; –случайные материальные накопления к моменту времени В результате уравнение (6.31) принимает вид , (6.36) , где .

1. Вычислим . Имущество приобретается в основном за счет денежных расходов и , определяемых формулами (6.7), (6.8). Поэтому . (6.37) Безразмерные коэффициенты и задают части от израсходованных денег, кото-рые определяют реальную стоимость товара. Оставшаяся часть денег расходуется на торговую наценку, доставку товара и так далее, то есть не определяет материальные накопления семьи. 2. Вычислим . Имущество в основном утрачивается за счет амортизации, то есть за счет изнашивания, поэтому полагаем , где , ; – процент изнашивания в месяц. В рез-те .

Т.о, получена система стохастических диф-ных ур-й (6.34),(6.36): (6.38)

Запишем систему (6.38) в векторном виде , (6.39) где , ; – двухмерный стохастический процесс.

Двухмерная случайная величина описывает случайное выпадение точки (семьи) на плоскость N , то есть случайные денежные и материальные накопления семьи в момент времени .