12.Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности, следствия. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Рассм. плос-ть Oxt и на ней открытый прямоугольник П . Часть границы прямоуг.П обозн. : =EA

Обозначим (прямоугольник +часть его границы). На прямоугольнике рассм.ур-ие теплопроводности (1)

Решения ур-ия(1) на не могут принимать сколь угодно больших и сколь угодно малых решений, а именно справедлива теорема (принцип max и min).

Теорема: Пусть ф-ия U(t,x) C²( ) C( ) и удовл. ур-ию (1) на , тогда ф-ия u достигает своего наиб. и наим. значений на кривой .

u(t,x) (2)

Д-во: (проведем для max, для min такле же (замена u=-u) методом от противного)

Предположим, что достигается в некот.точке , тогда ,

Введем в рассмотрение ф-ию (3)

k=const, 0 . Значение = .

Получим знач.ф-ии во внутр. точке прямоугольника больше, чем значения ф-ии на кривой Предположим, что ф-ия приним. свое наиб. значение в некот. точке . Рассм. возможные случаи:

1).точка , тогда она внутренняя, и согласно достаточному признаку экстремума для внутр.точки максимума следует, что (4)

2). Если лежит на стороне , то она граничная для П. Исходя из условия экстремума (max-мума) для граничной точки, получаем: (5)

Оценим производную ф-ии u:

, тогда и исходя из (4) и(5): , ,

По условию, ф-ия в точке удовл. условию ур-ия (1). Получим противоречие, чтд.

Следствие1:

Пусть и -решение ур-ия (1) на прямоугольнике , тогда .

Следствие2:

Если 3 решения ур-ия (1) на кривой удовл. двойному нер-ву

, то

,

13. Пространство осн. Ф-й. Обобщенные ф-и и их сво-ва.

Пусть x – вектор пространства , x . На нем зададим финитную функцию , т.е. фун-ю, для кот.сущ.-т. Открытое ограниченное множество U , для кот. . Замкнутое множество -носитель финитной функции . Множество всех финитных функций является линейным пространством, которое обозначается D( . Рассмотрим .

Опр. Последоват-ть называется сходящейся к финитной функции , т.е. , если выполнены условия:1) 3) существуют ограниченное замкнутое множество .

Про-во с указанной сходимостью будем называть пространством основных функций. На этом пространстве введем линейный функционал , где .

Линейный функционал , значит, что .(1)

Опр.Обобщенной функцией будем называть линейный непрерывный функционал на пространстве функций.

Непрерывный функционал означает, что для любой последовательности функций выполнены условия .(2)

Исходя из (1) и (2) можем утверждать, что множество всех обобщенных функций образует линейное пространство, которое обозначим .

Рассмотрим произв. локально суммируемую функцию g(x), . С помощью «обычной» функции построим лин.функционал g . Определив его следующим образом . Линейный функционал вытекает из свойства линейности определения n-мерного интеграла Римана, а непрерывн.из рассуждений.

.

Т.о. по обычной функции g мы построили функционал g, который является обобщенной функцией. Значит функцию g мы можем рассм.как обобщенную функцию. Такие обобщенные функции будем называть регулярными обобщенными функциями. Все остальные обобщенные функции – сингулярными.