5.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Замена, с помощью которой ур-ние приводится к каноническому виду определяется ур-нием характеристик, поэтому целесообразно рассм. каждый тип ур-ний L[u] = =f (6) отдельно.

Гиперболический тип. Для него D>0 на обл-ти Ω, поэтому ур-ния характеристик (x,y) (13) имеет 2 ЛНЗ первых интегралов: (x,y) = и (x,y) = , где – произвольные константы. Если взять в замене , то в преобразованном ур-нии = =0, а поскольку преобразование не меняет тип ур-ния, то >0)поэтому разделив преобразов. ур-ние на

= (ξ,η,u, ) (15). Вид ур-ния (15) наз-ся каноническим видом ур-ния гиперболического типа. Если в ур-нии (15) произвести замену ; , то получим = = ( ) (16) – канонический вид ур-ния гиперболического типа.

Параболический тип. Для него D=0 на обл-ти Ω, поэтому ур-ние характеристик имеет лишь один ЛНЗ первый интеграл (x,y) = C. Выбрав замену , где – произвольная достаточно гладкая ф-ция, с единственным условием, чтобы преобразование было невырожденным, т.е. I на Ω получим, что в преобразов. ур-нии =0, тогда =0 т.е. - =0, , . В результате разделив преобразованное ур-ние на

= (ξ,η,u, )) (17). Вид ур-ния (17) наз-ся каноническим видом ур-ния пароболического типа.

Эллиптический тип. Для него D<0 на обл-ти Ω, поэтому ур-ние характеристик имеет 2 комплексно-сопряжённые характеристики(2 комплексно-сопряж. интеграла) (x,y)+i (x,y) = C, где ф-ции действительных аргументов x и y. Положим в замене . Тогда в преобразованном ур-нии получаем ; . Данные соотношения получим если в ур-ние характеристик подставить комплекснозначн. интеграл и в полученном тождестве выделить действ. и мнимую части. В итоге разделив преобразованное ур-ние на приходим к ур-нию

(18)

Вид ур-ния (18) наз-ся каноническим видом ур-ния эллиптического типа.

6.Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.

Рассм. линейные ур-ния 2-го порядка n независимых переменных:

(19), где x= ( ) точка обл-ти Ω , = ( коэф. симметричны).

Опр. Выражение наз-ся главной частью ур-ния (19).

По главной части ур-ния(19) построим полином P(t;x):

P(t;x) = (21). Полином (21) наз-ся характерестическим полиномом ур-ния с частными производ.(19)(УЧП). Он представляет собой квадратичную форму с переменными коэф. Зафиксируем некот. точку тогда многочлен P(t; ) представляет собой квадратичную форму с постоянными коэф. Рассм. некоторую поверхность Г<Ω кот. задаётся ур-нием: где - дважды непрерывно-диф. на обл-ти ( ).

Опр. Поверхность Г заданная ур-нием(22) наз-ся характеристической поверхностью ур-ния(19), если во всех точках поверхности Г ф-ция удовлетворяет ур-нию: (23). Ур-ние (23) наз-ся ур-нием характеристик дляУЧП(19). Классификацию ур-ния (19) в т. осуществим с помощью квадратичной формы (21) в зависимости от того какой канонический вид имеет эта квадратичная форма.

Опр. Ур-ние(19) к эллиптическому типу в т. если в этой точке квадратич. форма(21) P(t; ) знакоопределённая, т.е при приведении её к сумме квадратов все коэф.равны либо 1, либо -1.

Опр. Ур-ние (19) наз-ся ур-нием гиперболического типа в т. , если в этой точке приведение квадратичной формы P(t; )к сумме квадратов даёт либо один полож. остальные отриц., либо один отриц. все остальные полож. коэф., нулевых нет.

Опр. Ур-ние (19) в т. принадлежит к ультрогиперболическому типу, если в т. после приведения квадратичной формы P(t; ) к сумме квадратов получаем более одного полож. или более одного отриц. коэф., нулевых нет.

Опр. Ур-ние (19) в т. принадлежит к параболическому типу если в этой точке приведение квадратичной формы P(t; ) к сумме квадратов даёт хотя бы один нулевой коэф., а ненулевые коэф. имеют одинаковые знаки.

Опр. Ур-ние (19) к эллиптическому типу (гиперболическому, ультрогиперболическому, параболическому) на обл-ти Ω если в каждой точке этой обл-ти оно к эллиптическому(гиперболическому, ультрогиперболическому , параболическому) типам.