§13. Математическое выражение второго закона термодинамики.

Для того чтобы прийти к математической формулировке II закона термодинамики необходимо познакомиться с принципом действия тепловых машин. Работа таких машин характеризуется коэффициентом полезного действия.

Q ₁ – количество тепла, полученное системой (машиной) от нагретого тела (нагревателя).

Q₂ – количество тепла, переданное системой более холодному телу (холодильнику).

Разность Q₁-Q₂ представляет собой количество тепла, превращенное в работу.

W= Q₁-Q₂.

Если тепловая машина работает без трения и тепловых потерь в окружающую среду, то отношение является коэффициентом полезного действия.

§14. Цикл Карно.

Рассмотрим термодинамический процесс, состоящий из двух изотермических (AB) и (CD) и двух адиабатических (BC) и (DA) обратимых изменений состояния. Этот идеальный цикл получил название цикла Карно.

Первоначально система находится в состоянии А, характеризуемом объемом V₁ и температурой Т₁. Данным значениям V₁ и Т₁ соответствует давление р₁. Далее систему подвергали изотермическому расширению AB при T=const до объема V₂, после чего система переходит в состояние В, характеризуемое параметрами V₂, T₁, p₂. Переход из состояния А в состояние В связан с производством работы, которая совершается за счет подводимого к системе тепла:

(3)

Затем происходит адиабатическое расширение системы (ВС) до объема V₃, когда система переходит в состояние С, характеризуемое параметрами V₃, T₂ и р₃. Этот переход совершается за счет убыли внутренней энергии:

(4)

Далее система сжимается (СD) при Т₂=const до объема V₄ и приходит в состояние D, характеризуемое параметрами V₄, T₂ и p₄. Работа, затраченная на сжатие, переходит в отдаваемое окружающей среде тепло:

(5)

Далее система сжимается адиабатически (DA) до объема V₁ и температуры Т₁, т.е. приходит в первоначальное состояние А, которое при объеме V₁ и температуре Т₁ должно иметь давление р₁. При этом затраченная работа расходуется на увеличение внутренней энергии:

(6)

Складывая эти уравнения, получаем:

(7)

Поскольку для адиабаты ВС имеем:

, (8)

а для адиабаты DA:

(9)

Разделив уравнение (8) на (9) получаем:

, или (10)

Следовательно уравнение (7) можно представить так:

(11)

Частное от деления этого уравнения на уравнение (3) дает коэффициент полезного действия:

(12)

Уравнение (12) можно представить в ином виде:

Коэффициент полезного действия цикла Карно () всегда больше коэффициента полезного действия любого кругового цикла (), состоящего из необратимых процессов:

> (13)

Рассмотрим некоторый произвольно взятый цикл.

Разобьем этот контур большим числом адиабат. Через точки пересечения адиабат с кривой цикла проведем изотермы. При этом получаем малые циклы Карно, каждый из которых состоит из двух изотерм и двух адиабат.

В предельном случае, когда число циклов Карно бесконечно велико, сумма их площадей равна общей площади цикла.

Для каждого из бесконечно малых циклов справедливы равенства:

и т.д.

Суммируя эти равенства, получаем, что алгебраическая сумма приведенных теплот цикла равна нулю:

.

В пределе алгебраическая сумма переходит в интеграл, взятый по замкнутому контуру:

.

Поскольку интеграл по замкнутому контуру от некоторой функции равен нулю, то подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал этой функции, а сама функция – это функция состояния.

Эта функция получила название энтропии и обозначается S.

Следовательно, , а для обратимых процессов.

Если рассматривать цикл из необратимых процессов, то согласно (13) будем иметь:

Математическая формулировка второго начала термодинамики:

или в дифференциальной форме: при этом знак равенства относится к обратимым процессам, а знак неравенства к необратимым.

Энтропия обладает свойствами:

1. Энтропия является функцией состояния.

2. Энтропия является аддитивным свойством. Это означает, что энтропия системы равна сумме энтропий составных частей.

3. Энтропия является мерой разупорядоченности вещества. Чем больше беспорядка в системе, тем больше значение энтропии, таким образом, энтропия газа больше, чем энтропия жидкости, а энтропия жидкости больше, чем энтропия твердого вещества. Энтропия возрастает при нагревании вещества, поскольку беспорядок в системе увеличивается.

Размерность энтропии представляет собой единицы энергии, деленные на градус: ; ; . Энтропия характеризует количество энергии, отнесенное к 1 данной температуры.