§3. Применение I закона термодинамики к простейшим процессам.

1. Изотермический процесс (Т=const)

Для идеального газа dU=0, поэтому Q=W, т.е. все сообщающееся тепло превращается в работу, величина которой определяется уравнением

Учитывая, что в этом случае , находим

.

2. Изохорический процесс (V=сonst)

При таком процессе W=pdV=0, тогда

Q_V=dU

Q_V=U=U₂-U₁

Это означает, что при изохорическом процессе все тепло, подводимое к системе, идет только на увеличение ее внутренней энергии.

Отсюда вытекает выражение для теплоемкости при постоянном объеме C_V. Согласно уравнению Q_V=dU и определению теплоемкости:

Теплоемкость при постоянном объеме характеризует возрастание внутренней энергии.

Для идеального газа , и поэтому в выражении для C_V можно заменить частную производную полной, т.е.

.

Увеличение внутренней энергии тела при его нагревании от температуры Т₁ до Т₂ определяется величиной интеграла:

.

Для того чтобы найти численное значение интеграла, необходимо знать вид зависимости C_V от T.

3. Изобарический процесс (p=const)

В этом процессе работа не равна нулю:

Условие p=const, позволяет внести эту величину под знак дифференциала

Таким образом, тепло, придаваемое системе при постоянном давлении расходуется на приращение некоторой функции H=U+pV, которая называется энтальпией (или теплосодержанием).

Энтальпия, также как и внутренняя энергия является функцией состояния. Ее изменение не зависит от пути процесса, т.к. изменения p и V определяются только начальным и конечным состоянием.

Таким образом: Q_p=dH

Q_p=H=H₂-H₁

Изменение энтальпии характеризует количество тепла, придаваемого системе при изобарическом процессе. На этом основании можно определить теплоемкость при постоянном давлении уравнением:

Величина энтальпии для идеального газа так же не зависит от давления, а только от температуры, т.к. pV при данной температуре постоянно. Таким образом, учитывая, что

, находим

,

откуда следует, что

т.е. теплоемкость одного моля идеального газа при постоянном давлении больше теплоемкости при постоянном объеме на величину R.

4. Адиабатический процесс

Процесс происходит в условиях, исключающих обмен теплом между системой и окружающей средой. При этом Q=0 и, следовательно, W= -dU.

dU=C_VdT

W= - C_VdT

,

если С_V, не зависит от температуры, то

Поскольку W=pdV, то C_VdT=-pd, т.к. для моля идеального газа

Отсюда следует, что адиабатическое расширение одного моля идеального газа от ₁ до ₂ описывается уравнением

потенцирование которого приводит к соотношению .

Обозначим и заметим, что . Тогда .

Т.к. , то . Также .

Сопоставляя уравнение и уравнение изотермы видно, что адиабата идет круче, чем изотерма.

§4. Примеры решения задач.

Пример 1.

а ) В процессе асb система получает 800 Дж тепла и совершает 300 Дж работы. Рассчитайте изменение внутренней энергии.

Согласно I закону термодинамики: Q=U+W.

Тогда U_acb=Q_acb-W_acb=800-300=500 Дж.

б) На пути adb работа составляет 120 Дж.

Рассчитайте количество тепла и изменение внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии будет таким же, как на пути acb, потому что и на пути acb и на пути adb одинаковые начальные и конечные состояния, а внутренняя энергия как функция состояния зависит только от них и не зависит от пути процесса. Следовательно, Q_adb=U_adb+W_adb=500+120=620 Дж.

в) На пути ba W=-220 Дж. Чему равно изменение внутренней энергии и количество тепла?

Изменение внутренней энергии по модулю равно изменению внутренней энергии в двух предыдущих задачах, но с обратным знаком. Это так потому, что исходное и конечное состояния поменялись местами. До сих пор U=U_b-U_a, а теперь U=U_a-U_b. Поэтому U_ba=-500 Дж, а Q_ba=U_ba+W_ba=-500-220= -720 Дж. Минус означает, что тепло выделяется системой, W<0, говорит о том, что работа совершается над системой.

Пример 2.

2 л. азота расширяются при 0С от 5 атм. до 1 атм. Определите работу расширения.

В этой задаче постоянна температура, следовательно, процесс изотермический.

.

Найдем число молей газа. Поскольку имеем дело только с идеальными газами, это специально не оговаривается. Можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа (Менделеева-Клайперона).

pV=nRT

Какую универсальную газовую постоянную следует подставить в это уравнение, если объем выражен в литрах, а давление в атмосферах? Можно конечно перевести все в систему СИ (давление в паскалях, а объем в метрах кубических) и воспользоваться R=8,31 Дж/моль^.К, а можно оставить все как есть и взять R=0,082 л-атм/моль^.К. Часто приходится переводить калории в джоули, здесь необходима R=1,987 кал/моль^.К.

Итак,

n=0,45 моля.

Дж

Пример 3.

В резервуаре объемом V=0,5 л. находится азот при Т₁=200 К и р₁=0,5 атм. Хотим увеличить давление до р₂=2 атм. Что нужно сделать?

Поскольку объем здесь величина постоянная, то чтобы увеличить давление необходимо систему нагреть.

Второй вопрос задачи – до какой температуры надо нагреть и какое количество тепла сообщить, причем выразить его в джоулях, калориях и литр-атмосферах.

Поскольку V=const, то W=0, давления соотносятся с температурами таким образом:

. Это тоже следует из постоянства объема. Если два раза записать уравнение Менделеева-Клайперона, а потом поделить одно на другое, то постоянный объем сократится, число молей и универсальная газовая постоянная тоже, получится, что отношение давлений равно отношению температур.

К.

Рассчитать количество тепла при постоянном объеме можно по уравнению: .

В этом уравнении не знаем число молей и значение С_V.

Число молей выразим из уравнения Менделеева-Клайперона: .

Значение С_V примем как делали в курсе физики:

Для одноатомного идеального газа

Для двухатомного идеального газа

Для многоатомного идеального газа

Азот – газ двухатомный, поэтому .

л-атм.

Чтобы пересчитать литр-атмосферы в джоули и калории необходимо знать значения универсальных газовых постоянных, выраженных в этих единицах.

1,875 л-атм соответствует R=0,082 л-атм/моль^.К

Х Дж соответствует R=8,31 Дж/моль^.К

Дж.

Аналогично переводим в калории:

1,875 л-атм соответствует R=0,082 л-атм/моль^.К

Х кал соответствует R=1,987 кал/моль^.К

кал.

Пример 4.

Газ, расширяясь от 0,01 до 0,016 м³ при постоянном давлении 1,013^.10⁵ Па, поглощает 126 Дж тепла. Определите изменение внутренней энергии.

Т.к. p=const W=p(V₂-V₁)= 1,013^.10^5.(0,016-0,01)=607,8 Дж

По первому закону термодинамики U=Q-W=126-607,8=-481,8 Дж.

Пример 5.

1 моль гелия подвергается адиабатному сжатию от V₁=1л. и p₁=1 атм. до V₂=0,5 л. Найдите , U и W, Т (увеличение температуры).

а)

Гелий – газ одноатомный, поэтому

б)

p₁V₁=RT₁ (n=1 моль) К

К

Т=19,4-12,2=7,2 К

в) Дж