27. Параметрическое уравнение прямой

Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть на координатной плоскости заданы:

а) точка ;

б) ненулевой вектор (рис.3.13).

Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .

Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и (рис.3.14).

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что , получим векторное параметрическое уравнение прямой:

где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор точки, принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (3.11) называется параметрическим уравнением прямой

где — координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях (3.11),(3.12) имеет следующий геометрический смысл: величина пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (3.11), (3.12) — это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с начальной точкой , при возрастании движение происходит в направлении, определяемым направляющим вектором .

Каноническое уравнение прямой

Выразим параметр из каждого уравнения системы (3.12): , а затем исключим этот параметр:

Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением прямой. В этом уравнении коэффициенты и не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.

28. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

   Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению прямой:

.

  Кроме того, для точки М₁ можно записать:

.

 Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

29. Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями и Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых: Тогда

Если то

Если , то или .

30. Угол между прямой и плоскостью.

_{Угол между прямой} : и плоскостью : _{находиться в пределах от 0 градусов (в случае параллельности) до 90 (в случае перпендикулярности) . Синус этого угла равен |cos¥|, где ¥ - угол между направляющим вектором прямой s и нормальным вектором прямой n плоскости. Вычисляя косинус угла между векторами через координаты получим}

, отсюда <ⱷ=arcsin

Вопрос 31.

Заданы прямая : и плоскость : . Найти их точку пересечения.

Запишем параметрический вид уравнения прямой

Подставим значения в уравнение плоскости

A1( )+B1( )+C1( )+D1=0

A1x1+A1*t*a1x+B1y1+B1*t*a1y+C1z1+C1*a1z+D1=0

A1x1+B1y1+C1z1+D1=-A1*t*a1x-B1*t*a1y-C1*a1z

Это и есть t. Потом значение t подставляем в параметрические уравнения и получаем точку пересечения.