13.Определение и основные свойства векторов a b c.Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения векторов.
Определение.
Смешанным произведением упорядоченной
тройки векторов 
называется скалярное произведение
первого вектора на
векторное произведение
второго вектора на
третий и обозначается
.
Смешанное
произведение векторов
,
и
обозначается
или
.
Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс
если
тройка правая, и со знаком минус, если
тройка левая. Действительно,
,
где φ -угол между векторами
и
,
а θ - угол между векторами
и
.
Объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,
и
,
равен произведению площади основания
на высоту
.
Таким образом,
первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда
направлен в ту же сторону от плоскости векторов
и , что и вектор , т. е. когда тройка ,
, правая. Аналогично доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
1.
;
2.
;
3.
.
14.Вывод
общего уравнения прямой на плоскости,
если задана точка
,
принадлежащая этой прямой, и вектор
нормали
=
,
перпендикулярный этой прямой.
Выберем
на плоскости произвольную точку 
.
Обозначим 
и 
—
радиус-векторы точек
и 
.
Точка 
принадлежит
заданной прямой тогда и только тогда,
когда векторы 
и 
перпендикулярны
(рис.3.5,б). Условие ортогональности
запишем при помощи скалярного произведения
(см. разд. 1.6.2):
Учитывая,
что 
,
получаем векторное
уравнение прямой:
Это
уравнение можно записать в другой форме.
Преобразуем левую часть , используя
свойства скалярного произведения (см.
). Обозначая 
,
получаем уравнение
или 
выражающее постоянство проекций на нормаль радиус-векторов точек, принадлежащих прямой.
Получим
координатную форму записи векторного
уравнения прямой (3.5). Так как 
и 
,
по формуле (1.9) находим 
или
Полученное
соотношение (3.7) позволяет по координатам
точки
и
координатам 
нормали
записать
уравнение прямой без промежуточных
вычислений.
Обозначив 
,
получим уравнение
15.Вывод
параметрических и канонического
уравнений прямой на плоскости, если
задана точка
,
принадлежащая этой прямой, и направляющий
вектор
=
,
параллельный этой прямой.
Пусть
прямая l задана
точкой 
и
направляющим вектором 
(см.
рис. 11.5.2). Пусть M –
произвольная точка прямой.
|
|
Обозначим 
и 
радиус-векторы
точек
и M соответственно.
Вектор 
параллелен
прямой, и, следовательно, вектору
тогда
и только тогда, когда M лежит
на прямой. Так как 
то
|
Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.
Если
ввести систему координат 
то
уравнение можно записать в виде
|
где 
и 
–
координаты точек
и M,
а 
–
координаты вектора 
Отсюда следует, что
|
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Пусть 
и 
тогда из уравнений следует, что 
и,
окончательно, уравнение 
которое называется каноническим
уравнением прямой,
с направляющим вектором 