- •1.Матрица. Линейные операции над матрицами. Действия над матрицами.
- •2.Определитель 2 –го и n-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение.
- •3.Системы линейных уравнений. Метод Крамера.
- •4.Системы линейных уравнений Метод матричный.
- •5.Системы линейных уравнений Метод Гаусса.
- •6.Векторы, операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •7.Векторы, операции над векторами. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •8.Орт вектора. Коллинеарность и ортогональность векторов.
- •9.Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- •10.Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •11 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •12 Вычисление угла между прямыми
- •16.Вычисление угла между плоскостями.
- •17.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •18.Прямая в пространстве: общие, параметрические и канонические уравнения, их эквивалентность; уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
- •19.Плоскость и прямая в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости.
- •20 Кривые второго порядка
- •21 Основные элементарные функции и их свойства.
- •22.Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Нечетность, периодичность.
- •23.Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •24.Основные свойства бесконечно малых величин.
- •25.Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин.
- •26.Первый замечательный предел.
- •27.Второй замечательный предел.
- •28.Непрерывность функции.
1.Матрица. Линейные операции над матрицами. Действия над матрицами.
Матрицы (операции, определитель, свойства)
Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений.
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
-сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
-умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n строк, можно умножить справа на матрицу, имеющую n столбцов);
-умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. н. скаляр).
Матрицей размера mХn называют прямоугольную таблицу, содержащую m строк и n столбцов. Строки и столбцы матрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, обозначается символом а. Сами матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов (m = n), то матрицу называют квадратной и говорят, что квадратная матрица имеет порядок n Элементы а11, а22, ..., аmm называются диагональными и образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е.
Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называется число
Aij = ( − 1)i + jMij, где Mij — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы A путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен:
bij = λaij
Сложение матриц
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
cij = aij + bij
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения AxB) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Транспонирование
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. A = (aij), то AT = (aji).
Ранг матрицы
Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.
Обратная матрица
Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
AA-1 = A-1A = E
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.