20.Довільна неоднорідна система лінійних рівнянь. Її загальний та частиний розв’язки.

Нехай є довільна система рівнянь вигляду:

Якщо вільні члени системи не дорівнюють 0 одночасно, система називається неоднорідною.

1.Якщо у цій системі m=n, то її можна дослідити за теоремою Кронекера-Капелі. Розв’язувати таку систему можна за допомогою теореми Крамера або матричним методом.

2.Якщо m=n, тоді можливі два випадки, коли система сумісна та несумісна.

Озн: Змінні довільної системи рівнянь будуть називатися базовими, якщо визначник матриці коефіцієнтів біля них відмінний від 0.

21.Розвязання довільної системи рівнянь методом Гаусса

Метод Гауса – це метод послідовного виключення невідомих. Він полягає у тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь зводиться до рівносильної системи східцевого або трикутного вигляду, з якої, послідовно, починаючи з останніх за номером змінних, знаходять всі інші елементи. Метод гауса зручно використовувати, працюючи з розширеною матрицею системи замість рівнянь. Розширена матриця у цьому випадку записується з прямою рискою, яка відділяє коефіцієнти біля невідомих від вільних членів.

Метод Гауса буде більш досконалим, якщо за допомогою елементарних перетворень можна одержати рівними 0 не тільки елементи, що лежать нижче головної діагоналі, а й ті елементи, що лежать вище головної діагоналі.

Кроком перетворення Жордана-Гаусса називають елементарні перетворення, за допомогою яких задана система зводиться до еквівалентної системи.

Алгоритм кроку перетворення Жордана-Гаусса

1.Обирають розвязувальний елемент не дорівнює 0;

2.Елементи і-го рядка ділять на і записують в і рядок розрахункової таблиці;

3.В розвязувальному j стовпці замість пишуть одиницю, а замість інших елементів цього стовпця пишуть 0.

4.Роблять перевірку правильності розрахунків шляхом порівняння суми елементів рядка з відповідним елементом контрольного стовпця, розрахованим за правилом прямокутника

22.Однорідна система лінійних рівнянь та особливості її розв’язку.

Озн: Система m лінійних рівнянь з п невідомими називається системою лінійних однорідних рівнянь, якщо усі її вільні члени дорівнюють 0. Вона має вигляд:

Система лінійних однорідних рівнянь завжди сумісна, так як завжди має, по крайній мірі нульовий розв’язок(0,0,0,…,0).

Якщо m=n та визначник системи відмінний від 0, то така система має єдине рішення - нульове, якщо система має визначник рівний 0-система має безліч розв’язків. Ненульові розвязки можливі лише для тих систем, у яких число рівнянь менше числа змінних або коли вони рівні та визначник системи дорівнює 0.

Якщо m не дорівнює n- можливі два випадки:

1. m менше n –безліч розв’язків;

2. m більше n – можливі теж два випадки.

г(А)= n –єдиний розв’язок.

г(А)менше n –безліч розв’язків.

Теорема: Система лінійних однорідних рівнянь має ненульові розв’язки тоді та тільки тоді, коли ранг матриці коефіцієнтів біля невідомих менше числа невідомих.