75.Перша та друга визначні границі.

Перша визначна границя ;

Друга визначна границя:

Озн: Число е називається границя числової послідовності е=

76.Розкриття невизначеностей виду 0/0 8/8.

Теорема: Границя відношення двох нескінченно-малих або нескінченно-великих ф-цій = границі відношення їх похідних, якщо остання існує у певному розумінні. Тобто, невизначеність виду або , то

77.Неперервність ф-цій в точці та основні властивості ф-цій, неперервних в точці.

Озн: Ф-ція f(x) називається неперервною в точці якщо вона задовольняє наступним трьом умовам:

1. визначена у точці ;

2.має скінчену границю при ;

3.ця границя дорівнює значенню ф-ції у точці , тобто: .

Властивості ф-цій, неперервних в точці:

1. Якщо ф-ції f(x) та неперервні в точці , то їх сума , добуток та частка є функціями, неперервними в точці .

2 Якщо ф-ції y=f(x). неперервна в точці ,та , то існує такий окіл точки , в якому .

3. Якщо ф-ція y=f(u) неперервна в точці , а ф-ція неперервна в точці , то складна ф-ція неперервна в точці .

78.Точки розриву ф-цій та їх класифікація.

Озн: Точка називається точкою розриву ф-ції f(x), якщо ця ф-ція у цій точці не є неперервною, тобто у випадках коли:

1) f(x) не визначена у цій точі;

2) f(x) визначена у точці , але:

А)не існує ;

Б)існує границя та .

Розрізняють точки розриву:

Першого роду - коли існують кінцеві односторонні границі функції зліва та справ при , не рівні одне одному. У цьому випадку різниця називається скачком ф-ції в точці .

Другого роду- коли хоча б одна з односторонніх границь зліва або справа дорівнює нескінченості або не існує.

79.Неперервність ф-ції на відрізку та властивості ф-цій, неперервних на відрізку. 79.Неперервність основних елементарних ф-цій.

Ф-ція y=f(x) називається неперервною на проміжку ,якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.

Властивості ф-цій неперервних на відрізку:

1)Якщо ф-ція y=f(x) неперервна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

2)Якщо ф-ція y=f(x) неперервна на відрізку , то вона досягає на цьому відрізку найменьшого значення m та найбільшого значення М.

3)Якщо ф-ція y=f(x) неперервна на відрізку та значення її на кінцях відрізку та мають протилежні знаки, що всередині відрізку знайдеться точка така, що .

Неперервність основних елементарних ф-цій.

Однією з важливих властивостей елементарних ф-цій є їх неперервність у кожній точці, у околі якої вони визначені. Тобто, можна сказати, усі елементарні ф-ції неперервні на області визначення. Розглянемо деякі елементарні ф-ції, перевіримо іх неперервність, використовуючи означення неперервної ф-ції та її властивості.

1)Раціональні ф-ції. , , .

2)Тригометричні ф-ції.

3)Показникові та логарифмічні ф-ції. ,

80.Неперервність основних елементарних ф-цій. Однією з важливих властивостей елементарних ф-цій є їх неперер- вність у кожній точці, у околі якої вони визначені. Тобто, можна сказати, що усі елементарні ф-ції неперервні на об- ласті визначення. 1)Раціональні ф-ції. а) Найпростіша f(х)=С (постійна ф-ція).Ііmf(х) = С = f(x₀) - тобто постійна ф-ція неперервна у кожній точці числової прямої; б)f(x)=x.limf(x) = x_q =f(x_o) - границя функції в точці x₀ дорівнює значенню ф-ції в цій точці;в)f(х) = С_охⁿ + c₁x^n-1 + С₂х^n-2 +... + C_n, де n≥0 - ціпе число, Co, С₁ ..., С₂ -будь-які числа. Кожний доданок є добуток двох неперервних ф-цій: С та хⁿ, тобто він також неперервний у будь-якій точці х.

Р(х)

г) f(х)=----- — дробово-раціональна функція, де Р(х), Q(x)

Q(х) — багаточлени — неперервна в усіх точках, в яких її знаменник ≠0, як частка неперервних функцій. 2) Триго- нометричні ф-ції.y=sin x - неперервна ф-ція в будь-якій точці х. 3)Показникові та логарифмічні функції. Y=a^x y=log_a x