55. Критерий x2.
A1, ..., Am - m возможных исходов некоторого опыта; p1, ..., pm - вероятности cooтветствующих исходов, i=1mpi=1; n - число независимых повторений опыта;
1, ..., m - число появлений соответствующих исходов в n опытах, i=1mvi=n; p10, ..., pm0 - гипотетические значения вероятностей, pi0 0, i=1mpi0=1. Требуется по наблюдениям 1,...,m проверить гипотезу Н о том , что вероятности p1, ..., pm имеют значения p10, ..., pm0, т.е.
Н: pi=
pi0
, i=1,
...,m. Оценками
для p1,
..., pm
являются
=
1
/n,
...,
=
m/n.
Мерой расхождения между гипотетическими
и эмпирическими вероятностями принимается
величина
,
которая с точностью
до множителя n
есть усредненное с весами pi0
значение квадрата относительного
отклонения значений
от pi0.
Статистика X2
называется статистикой хи-квадрат
Пирсона. Для ее вычисления используются
две формулы (1):
Условно статистику можно записать так:
Н - наблюдаемые частоты i, Т - теоретические (ожидаемые) частоты npi0. Поскольку по закону больших чисел pi при n , то
(1.1)
Последняя величина равна 0, если верна Н; если же Н не верна, то X2 . Процедура проверки гипотезы состоит в том, что если величина X2 приняла “слишком большое” значение, т.е. если X2 h (2), то гипотеза Н отклоняется; если это не так, будем говорить, что наблюдения не противоречат гипотезе.
Пусть X1, X2, Xn- независимые случайные величины, каждый из кот. имеет стандартное нормальное распределение P{xi<x}=Ф(x); X2n= X21+ X22+ X2n. Функция распределения с.в. F X2n(x)=P{xi<x}. Плотность: f Xn2 (x)=F’ Xn2(r), тогда f Xn2 (x)- назыв. Xn2 функцией. Г(x)=0e-ttx-1dt - известная гамма функция.
f Xn2 (x)= (1/(2((n/2)-1)Г(n/2)))e-(x/2)x((n/2)-1), число n называется степенью свободы.
Схема применения критерия: 1.Определяется мера расхождения X2 по формуле 1.1 2.Определяется число степеней свободы. как число разрядов I минус s-число наложенных связей. 3.по n и . X2 определяется вероятность того, что величина, имеющая распределение X2 с n степенями свободы, превзойдет данное значение X2.Если эта вероятность весьма мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если вероятность велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.