6. Вывод дифер. Уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера).

В установившемся потоке идеальной жидкости выделим элементарный объём в виде параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz. 1)Так как жидкость идеальная, то следовательно, касательные напряжения и сила трения . Из поверхностных сил будет действовать только сила давления P. 2)Из массовых (объёмных сил) действует сила тяжести G, dG=ρdVg.Применим к выделенному в потоке элементарному объёму основной принцип динамики: «Сумма проекций сил, действующих на движущейся элементарный объём жидкости, равна произведению массы жидкости на её ускорение». При перемещении вдоль оси X(вызвано перемещение действием сил давления): (4.13);При перемещении вдоль оси Y: (5.14);При перемещении вдоль оси Z: (4.15); Рассмотрим перемещение вдоль оси Х. Сила гидростатического давления

. Выразим силу через .Для этого определим единичное приращение давления как , тогда изменение давления вдоль всего ребра длинной определяется как . Сила давления, действующая на правую грань выделенного объема, Подстановка и в уравнение (4.13) приводит к выражению ;Уравнение (4.14) запишется аналогично: А уравнение (3.15) примет ид: . Масса жидкости, заключённая в элементарном объёме параллелепипеда, определяется как произведение: А проекции ускорения на соответствующие координатные оси составят: В соответствии с основным принципом динамики имеем систему уравнений: ; ; Или после сокращения система : (4.22). Система (4.22) является системой дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости для случая, когда из всех массовых сил во внимание принята только сила тяжести ( Л.Эйлер 1755 г.).

6. Вывод уравнения Д. Бернули для установивш. движения идеальной жид-ти и анализ его составляющих. Систему дифференциальных уравнений Эйлера для потока идеальной (4.22) жидкости запишем в виде: ; ; Соответственно домножим уравнения системы (5.1) на dx ;dy; dz и осуществим почленное их сложение: ; Учитывая, что выражение в скобках является полным дифференциалом давления, т.е.: . А также то, что получим .Заменив получим уравнение .Перенесём в левую часть правую и введём постоянные физические величины (плотность и ускорение свободного падения) под знаки дифференциалов: Суммy дифференциалов можно заменить дифференциалом суммы: Откуда Данное уравнение является уравнением Бернулли для струйки идеальной жидкости, полученным им в 1738 г.Для двух различных сечений струйки 1-1и 2-2 уравнение Бернулли примет вид Для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия есть величина постоянная для всех сечений струйки.

6. Э нергетич. смысл и геометрич. интерпритация уравнения Бернули для идеальной жид-ти. Энергетический смысл уравнения Бернулли: Как известно, полная энергия потока складывается из потенциальной энергии положения Е_z и давления Е_р, а также кинетической энергии движения Е_к. В свою очередь, потенциальная энергия положения определяется как Е_z=mgz; энергия давления ; кинетическая энергия . Если энергией обладает единица веса перекачиваемой жидкости, то в этом случае говорят об удельной энергии жидкости. Вес перекачиваемой жидкости определяется из закона Ньютона как G=mg. Тогда удельная потенциальная энергия (УПЭ) положения будет выражена:УПЭ=Е_п/G=mgz/(mg)=z.; Удельная потенциальная энергия давления ; Удельная кинетическая энергия потока (УКЭ) идеальной жидкости будет равна: Полная удельная энергия струйки идеальной жидкости называется напором и представляет собою сумму удельной потенциальной и кинетической энергии. УПЭ+ УЭД+ УКЭ=УЭП – уравнение энергетического баланса потока. Геометрическое толкование уравнения Л.Бернулли. Как следует из уравнения , все его слагаемые имеют размерность длины. Поэтому уравнению Бернулли наряду с энергетическим толкованием дается и геометрическое (см. рис). В потоке идеальной жидкости ( ) произвольно выберем сечениея 1-1, 2-2 и 3-3. В этих сечениях установим прямые трубки (пьезометры) «а» и трубки с изогнутым устьем навстречу потоку – трубки «b», называемые трубками (пьезометрами) полного напора. Жидкость в обоих трубках поднимется на некоторую высоту. Причем в трубках «b» высота подъема будет больше ввиду того, что трубка показывает помимо давления в каждом сечении еще и учитывает динамическое воздействие частиц набегающей жидкости.

Линия, проведенная по отметкам b₁, b₂ и b₃ ,будет называться линией полных напоров, а линия а₁, а₂ и а₃ – линией пьезометрических напоров. Расстояние от плоскости сравнения 0-0 до центров выбранных сечений z₁, z₂ и z₃ представляет собой геометрический напор, или нивелирную высоту. – пьезометрический напор (высота), отвечающий гидростатическому давлению в рассматриваемом живом сечении. – динамический, или скоростной напор. Из приведенного рисунка ясно, что трубка «b» измеряет полную удельную энергию потока, а трубка «а» – только потенциальную. Поэтому разность высот подъема жидкости в пьезометрах «b» и «а» указывает на удельную кинетическую энергию потока. Здесь же стоит отметить и тот факт, что при перемещении потока от сечения 1-1 где его площадь S₁, до сечения 2-2, площадь которого S₂, скорость движения частиц соответственно меняется от до . Причем , а следовательно, скоростной напор в первом сечении больше скоростного напора во втором сечении . При Z₁=Z₂ налицо переход кинетической энергии потока во втором сечении в потенциальную. Взаимный переход одного вида энергии в другой и обратно называют трансформацией Бернулли.