3.1. Методика составления дифференциальных уравнений элементов непрерывных сау с сосредоточенными параметрами, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями

Любая САУ представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов (звеньев), соединенных между собой связями.

Первым шагом при составлении уравнений динамики является разделение системы на отдельные звенья и составление уравнений этих звеньев. Этот процесс связан с выявлением физических законов, определяющих поведение звеньев. Такими законами являются: закон сохранения вещества, закон сохранения энергии, второй закон Ньютона или какой-либо из других законов физики. Дифференциальные уравнения звеньев и уравнения связей между звеньями описывают процессы в системе управления, т.е. изменение во времени всех координат системы. Из них составляют структурную схему САУ.

Структурная схема САУ характеризует геометрию системы, т.е. показывает, из каких звеньев состоит САУ, и как эти звенья связаны между собой. На схеме указываются пути распространения сигналов в системе. Состояние САУ, а также каждого входящего в него звена, характеризуется входными (g(t),x_i(t)) и выходными величинами (y(t),x_j(t)).

Во многих случаях САУ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и, в частности, из-за нелинейности статистических характеристик звеньев САУ. Для упрощения анализа, когда это возможно, исходные нелинейные уравнения заменяют такими линейными уравнениями, решения которых с достаточной степенью точности совпадает с решениями нелинейных уравнений. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией. Обычно линеаризация нелинейных уравнений звеньев производится относительно некоторого заданного (установившегося) режима (состояния). Если дифференциальное уравнение звена нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики звена y=φ(g) линейной функцией .

Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции y=φ(g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию. При этом ограничиваются лишь членами первого порядка малости и пренебрегают остаточным членом. Геометрически это означает замену кривой y=φ(g) касательной, проведенной к кривой в точке (g₀,y₀), то есть

, (3.1)

где - значение первой производной функции по g при подстановке в выражение этой производной .

Это уравнение (1) можно переписать в виде:

, (3.2)

где , , .

Коэффициент K равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси абсцисс:

.

Рассмотрим процесс линеаризации нелинейного дифференциального уравнения звена второго порядка, записанного в неявной форме:

(3.3)

Допустим, что установившиеся (программные) значения переменных являются постоянными . Тогда можно записать:

, , , , ,

где символом обозначены отклонения в процессе управления.

Из уравнения (3.3) запишем уравнение звена в установившемся состоянии:

. (3.4)

Уравнение (3.3) в отклонениях:

. (3.5)

Разложим левую часть уравнения (3.5) в ряд Тейлора относительно точки установившегося состояния :

, (3.6)

где нулем обозначена подстановки .

Вычитая из выражения (3.6) уравнение (3.4) и отбросив все последующие члены разложения как малые высшего порядка, придем к линейному уравнению динамики звена. Его называют уравнением в отклонениях или в “вариациях”.

Обычно при записи линеаризованного уравнения в левой части оставляют слагаемые, содержащие отклонение выходной величины, а все остальные переносят в правую часть. С учетом этого уравнение (3.6) можно переписать:

, (3.7)

где , , , , .

Процесс линеаризации уравнения (3.3) может быть геометрически интерпретирован следующим образом. В пространстве переменных уравнение (3.3) задает некоторую поверхность. Переход от уравнения (3.3) к уравнению (3.7) означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью, проведенной к поверхности в точке, соответствующей установившемуся состоянию. Ошибка при такой замене будет мала лишь в малой окрестности установившегося состояния.