3. Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья

Звено, которое можно описать уравнением

, ( )

или в другой форме

, где , , (3.29)

или передаточной функцией

, (3.30)

называют колебательным, если ; консервативным, если ( ), и апериодическим звеном второго порядка, если . Коэффициент называют коэффициентом демпфирования (параметром затухания, коэффициентом колебательности), величину называют угловой частотой свободных колебаний (при отсутствии затухания),  ‑ постоянная времени.

Колебательное звено ( )

Условие означает, что корни характеристического уравнения комплексные

.

Примерами колебательных звеньев являются колебательные - цепи, управляемые двигатели постоянного тока при выполнении условия , упругие механические передачи, гироскопические элементы.

Уравнение установившегося режима звена (уравнение статики)

.

Переходная функция колебательного звена является решением дифференциального уравнения (3.29) при .

Покажем это:

Преобразуем исходное уравнение по Лапласу

,

начальные условия: , , .

Найдем ,

отсюда , , , , .

Теперь изображение переходной функции

. (3.31)

Для определения оригиналов второго и третьего слагаемых изображения приведем их к форме, представляемой в таблице оригиналов.

Преобразуем второе слагаемое:

.

Введем обозначения:

- коэффициент затухания переходного процесса, (3.32)

- частота затухающих колебаний. (3.32)

Теперь второе слагаемое примет вид:

.

По таблице изображений по Лапласу определим оригиналы

,

.

Третье слагаемое в (3.31) преобразуем к виду:

.

С учетом обозначений (3.32) третье слагаемое примет вид:

.

Оригинал этого выражения .

Окончательно, переходная функция колебательного звена

(3.33)

Весовая функция колебательного звена

, (3.34)

На рис. 3.8 приведена переходная функция колебательного звена.

Рис. 3.8. Переходная функция колебательного звена

По переходной характеристике можно определить параметры колебательного звена следующим образом. Коэффициент передачи определяют по установившемуся значению переходной функции

.

,

Из отношения найдем .

Частота затухающих колебаний

, где - период затухающих колебаний.

Коэффициент демпфирования звена может быть найден из выражения , а постоянная времени звена из выражения

. (3.35)

(Из выражений (3.32) имеем и , , откуда и следует (3.35)).

По переходной характеристике можно определить величину перерегулирования

. (3.36)

Можно показать, что перерегулирование зависит только от коэффициента колебательности и не зависит от постоянной времени :

(3.37)

(Берется производная , приравнивается нулю; полагая , определяется время и подставляется в (3.33), находится ; учитывая, что , определяется ).

Частотные характеристики звена

Выражение АФЧХ получается при подстановке в передаточную функцию звена :

. (3.38)

АЧХ: (3.39)

Умножив числитель и знаменатель (3.38) на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции

, .

ФЧХ: изменяется монотонно от 0 до ( ) и выражается формулой

(при функция меняет знак на плюс)

Рис. 3.9. Частотные характеристики колебательного звена