1. Безынерционное (идеальное усилительное, пропорциональное) звено
В статике и динамике описывается алгебраическим уравнением:
.
Передаточная функция звена:
.
Примерами таких безынерционных звеньев могут служить жесткие механические и гидравлические передачи, электронный усилитель на низких частотах, делитель напряжения, датчики: потенциометрические, индукционные, гироскоп и др.
Переходная
функция звена
представляет собой ступенчатую функцию,
т.е. при
.
Функция веса
.
АФЧХ вырождается в точку, расположенную
на вещественной оси на расстоянии
от
начала координат. Модуль ЧПФ
постоянен
на всех частотах, а фазовые сдвиги равны
нулю (
).
Безынерционное звено является некоторой
идеализацией реальных звеньев. Оно
равномерно пропускает все частоты от
0 до
.
№16
2. Апериодическое (инерционное) звено первого порядка
Дифференциальное уравнение звена:
,
.
(3.24)
Передаточная функция звена:
,
где
-
коэффициент передачи,
- постоянная времени.
Примеры апериодических звеньев:
а) двигатель любого типа (электрический, гидравлический, пневматический), входной величиной является управляющее воздействие (напряжение в ЭД, расход жидкости в ГД и т.п.), выходной величиной является скорость вращения;
б) электрический генератор постоянного тока, входной величиной которого является напряжение, подводимое к обмотке возбуждения, а выходной – напряжение якоря;
в) резервуар с
газом, у которого входная величина
представляет собой давление
перед
впускным отверстием, а выходная -
давление
в резервуаре;
г) нагревательная
печь, у которая входная величина –
количество поступающего в единицу
времени тепла -
,
а выходная – температура в печи -
;
д) электрические
и
цепи.
В установившемся режиме входная и выходная величины связаны уравнением
.
Переходная функция звена является решением дифференциального уравнения при .
,
,
(3.25)
(установившийся
режим).
Характеристическое уравнение:
,
откуда корень характеристического уравнения
.
Подставим
и
в (3.25):
.
(3.26)
Найдем постоянную
интегрирования
,
задавшись начальными условиями: при
,
.
Из (3.26) найдем
.
Окончательно,
.
(3.27)
Функция веса
звена
,
.
На рис. (3.5) представлен
график переходной функции звена, показаны
параметры
и
,
которые можно определить экспериментально
из графика. Время переходного процесса
в звене определяется обычно, как
,
когда выходное значение в звене
устанавливается с ошибкой
.
Постоянная времени характеризует
«инерционность», или «инерционное
запаздывание» апериодического звена;
чем она больше, тем длительнее переходный
процесс в звене.
Рис. 3.5. Переходная функция инерционного звена
Частотные характеристики звена.
Частотная передаточная функция (АФЧХ) звена
.
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число, получим
,
откуда
,
.
Выражение для АЧХ и ФЧХ определим, воспользовавшись правилом модулей и аргументов.
,
.
На рисунке 3.6 приведены графики АФЧХ, АЧХ и ФЧХ инерционного звена.
Рис. 3.6. Графики АФЧХ, АЧХ и ФЧХ инерционного звена
АФЧХ для положительных
частот имеет вид полуокружности с
диаметром, равным коэффициенту передачи
.
Величина постоянной времени звена
определяет распределение отметок
частоты
вдоль
кривой. На АФЧХ показаны три
характерные
отметки (
,
,
).
Из АЧХ видно, что
колебания малых частот (
)
«пропускаются» звеном с отношением
амплитуд выходной и входной величин,
близким к статическому коэффициенту
передачи звена
,
а при
колебания проходят со значительным
ослаблением. При уменьшении постоянной
времени
звена
АЧХ вытягивается вдоль оси частот.
Говорят: увеличивается полоса пропускания
частот данного звена.
Выражение для логарифмической амплитудной частотной характеристики звена имеет вид
(3.28)
Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена представлены на рисунке 3.7.
Рис. 3.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена
Наиболее просто,
практически без вычислительной работы,
строится так называемая асимптотическая
ЛАЧХ. Характеристика имеет две асимптоты,
пересекающиеся в точке, соответствующей
сопрягающей частоте
.
Для частот, меньших
,
можно пренебречь вторым слагаемым под
корнем в выражении (3.28), и тогда при
:
.
Первая асимптота – прямая линия, параллельная оси частот.
Для частот больших,
чем сопрягающая (
),
в выражении (3.28) можно пренебречь под
корнем единицей по сравнению с
.
Тогда при
:
,
т.е. вторая асимптота будет прямой с отрицательным наклоном –20дб/дек.
Действительная ЛАЧХ (показана пунктиром) близка к этим асимптотам. Наибольшее ее отличие будет в точке , а именно:
дБ.
В инженерных расчетах такой разницей пренебрегают и считают, что ЛАЧХ апериодического звена имеет вид ломаной линии, состоящей из двух прямых.
ЛФЧХ звена имеет
симметрию относительно сопрягающей
частоты и сдвиг по фазе
при
(
).
№17