11. (Только практика) Способы вычисления ранга.

1 способ, по определению.

2 способ, с помощью приведению к виду трапеции. Ранг равен количеству ненулевых строк.

3 способ. Максимальное число линейно независимых строк/столбцов матрицы равно рангу матрицы.

12.Сформулировать элементарные преобразования матриц. Определение эквивалентных матриц.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Отбрасывание нулевого ряда.

2. Умножение всех элементов матрица на число неравное нулю.

3. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одного ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Обозначаются .

14.Определение системы линейных уравнений (в том числе, что значит решить систему, какие системы называются совместными, определенными и эквивалентными). Сформулировать элементарные преобразования систем.

Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

, где числа – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены, – неизвестные или переменные.

Решением системы уравнений называется упорядоченная система чисел при подстановке которой все уравнения системы обращаются в верное равенство.

Решить систему – значит выяснить, совместна ли она или несовместна. Если система совместна – найти все ее решения.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и не совместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Системы уравнений называют эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же множество решений. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях матрицы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Элементарные преобразования систем:

1. Умножение некоторого уравнения системы на число, отличное от нуля.

2. Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число.

3. Перестановка местами двух уравнений системы или слагаемых в уравнениях.

4. Вычеркивание нулевого уравнения.

5. Удаление уравнений, являющимися линейными комбинациями других уравнений системы.

Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных называется основной матрицей системы.

– матрица неизвестных; – матрица свободных членов; – матричная форма записи системы.

13.Определение базисного минора матрицы. Сформулировать теорему о базисном миноре. Следствия из данной теоремы.

Базисным минором матрицы называют отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называют базисными.

Теорема о базисном миноре:

1. Любая строка/столбец матрицы является линейной комбинацией базисных строк/столбцов.

2. Базисные строки/столбцы линейно независимы.

Из теоремы следует: Максимальное число линейно независимых строк/столбцов матрицы равно рангу матрицы.