9. Определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы. Формула нахождения обратной матрицы.
Матрица
называется
обратной матрице А, если выполняется
условие
,
где Е – единичная матрица того же
порядка, что и матрица А. Матрица
имеет те же размеры, что и матрица А.
Понятие обратной матрицы распространяется
только на квадратные матрицы. Квадратная
матрица, определитель которой отличен
от нуля, называется невырожденной.
Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.
Союзная
матрица:
,
где
– алгебраическое дополнение элемента
ij
данной матрицы.
Условие
существования обратной матрицы. Лемма:
Если А – квадратная матрица n-ого
порядка,
– союзная к ней матрица, то
,
где Е – единичная матрица n-ого
порядка.
Доказательство:
Рассмотрим произведение матрицы А и
При
вычислении элементов матрицы произведения,
стоящих на главной диагонали, будет
получаться сумма произведений элементов
i-ой
строки матрицы А на их алгебраическое
дополнение, а это равно определителю.
Для получения остальных элементов
матрицы надо находить сумму произведений
элементов i-ой
строки на алгебраическое дополнение
элементов j-ой
строки, а это согласно 10-ому свойству
определителей равно нулю. Аналогично
можно доказать, что
Теорема 1, о существовании обратной матрицы. Для того, чтобы существовала матрица , обратная матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Доказательство.
Необходимость. Пусть матрица А имеет
обратную матрицу
,
тогда
. По 9-ому свойству определителей
.
Так как |E|=1,
то
,
следовательно матрица A
– невырожденная.
Достаточность.
Пусть матрица А – невырожденная, то
есть
.
Докажем, что существует такая матрица
,
которая является обратной к матрице А
и докажем, что такой матрицей является
,
где
– союзная матрица к A.
Согласно лемме
Формула
обратной матрицы:
Теорема 2, о единственности обратной матрицы. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.
Доказательство.
Пусть существуют матрицы
и
обратные невырожденной матрице А, тогда
(слева).
10. Ранг матрицы и его свойства.
Рассмотрим
матрицу
.
Выделим в ней k
строк и k
столбцов, где
,
необязательно рядом. Из элементов,
стоящих на пересечении выделенных
строк и столбцов составить определитель
k-ого
порядка. Все такие определители
называются минорами матрицы (не путать
с минорами элементов!!!).
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначается r, r(A), rang.
Из определения следует:
1.
Ранг матрицы
не превосходит меньший из ее размеров,
то есть
.
2.
,
тогда и только тогда, когда все элементы
матрицы равны нулю, то есть матрица –
нулевая.
3. Для квадратной матрицы n-ого порядка r=n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.
Свойства ранга матрицы:
1. При транспонировании ранг матрицы не меняется.
2. Ранг матрицы, полученный из данной вычеркиванием какого-либо ряда, равен рангу данной матрицы или меньше его на единицу.
3. Ранг матрицы, полученный из данной приписыванием к ней ряда, элементами которого являются произвольные числа, равен рангу исходной матрицы или больше его на единицу.
4. Если вычеркнуть из матрицы или прибавить к ней нулевой ряд, то ранг матрицы не меняется.
5. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.