43.Определение предела последовательности и его геометрическая интерпретация.

Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного числа ϵ существует такой номер N, что при всех выполняется неравенство . В этом случае пишут . Говорят также, что последовательность сходится к a или называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Коротко определение записывают так: .

Геометрическая интерпретация: заключается в том, что с увеличением номера члена последовательности, члены последовательности приближаются к числу a, которое является пределом. И поскольку окрестность достаточно маленькая, то на числовой прямой находится бесконечное число точек – элементов этой последовательности, близко расположенных к a.

Неограниченная последовательность не имеет конечного предела. Однако она может иметь бесконечный предел, что записывается . Если при этом начиная с некоторого номера все члены последовательности положительны (отрицательны), то пишут ( ). Саму последовательность называют бесконечно большой. Последовательность, имеющая своим пределом 0, называют бесконечно малой.

44.Свойства сходящихся последовательностей.

1.

2. Сходящаяся последовательность имеет только 1 предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. и сходятся, то ; ; ; .

5. Произведение бмп и ограниченной последовательности или числа есть бмп.

6. Произведение конечного числа бмп-тей и есть бмп.

45.Определение, способы задания и свойства функции.

Если каждому элементу x из множества X по какому-либо закону f ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y, то говорят, что задана функциональная зависимость y от x по закону или функция . При этом x называют независимой переменной или аргументом, y – зависимой переменной или значением функции, множество X называют областью определения функции и обозначают D(f), множество Y – областью значений функции и обозначают E(f).

Основные свойства функции:

1. Четность/нечетность.

Функция называется четной, если для любого выполняется условия: 1. 2. . И нечетной, если для любого выполняется условия: 1. 2. . При этом называют симметричной относительно . График четной функции симметричен относительно , а график нечетной функции относительно .

2. Монотонность. Функция называется возрастающей на промежутке , если для любого , , где выполняется условие и неубывающей, если . Функция называется убывающей на промежутке , если для любого , , где выполняется условие и неубывающей, если . Возрастающие, неубывающие, убывающие, невозрастающие на промежутке называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на множестве , если существует M>0 такое, что для всех выполняется неравенство .

4. Периодичность. Функция называется периодичной на множестве , если существует T>0, что для всех x, принадлежащих выполняется условие: 1. ; 2. . T – период функции. Если T период, то nT также является периодом, где .