2.8.4. Алгоритм построения регрессионных моделей

на основе планирования экспериментов

Рассмотрим последовательность проведения экспериментов при построении математической модели экспериментально-статистическими методами.

1. На первом шаге необходимо выполнить содержательное описание исследуемого объекта, выделив два множества характеристик: зависимые и независимые. Зависимые характеристики можно рассматривать как составляющие вектора выходных координат объекта Y. Для построения математической модели в форме уравнения регрессии выбираем одну из составляющих этого вектора ( ). В создаваемой модели рассматривается в качестве выходного параметра ( ).

2. Используя выборку наблюдений за , выполняют проверку гипотезы о нормальном законе распределения для выходного параметра, а также допущения о стационарности объекта. Чтобы оценить характер эмпирического распределения можно использовать критерий Пирсона:

где K – число интервалов разбиения выборки N; – число значений случайной величины , попавших в j-й интервал; – частота появления значений случайной величины в j-м интервале.

Гипотезу о нормальном законе распределения можно принять, если

при ,

где – число оцениваемых параметров в законе распределения.

3. Проводится анализ множества независимых характеристик, в ходе которого выделяются характеристики линейно независимые, существенно влияющие на . В создаваемой модели эти характеристики будут рассматриваться в качестве факторов (Х).

4. Для каждого фактора определяется допустимый интервал, определяющий границы изменений . Нарушение этого интервала может привести к аварийным последствиям.

5. Выбирается базовая точка факторного пространства, которая совмещается с центром плана .

6. Для каждого фактора определяется шаг его варьирования Основное требование к шагу состоит в том, чтобы он не был меньше удвоенной среднеквадратичной ошибки фактора [9].

Иными словами, изменение фактора на величину должно значимо (не случайно) влиять на выходной параметр. При этом выполняется требование: Обычно шаг варьирования определяется на основе априорной информации и при необходимости корректируется.

7. Задается число уровней варьирования для каждого фактора. Наибольшее распространение получили планы с основанием два (при L=2).

Двухуровневый план эффективен (n>3), когда для проверки адекватности модели имеется достаточное число степеней свободы, т.е. имеется превышение числа опытов N над числом определяемых коэффициентов модели (n+1).

8. Рассчитываются верхние и нижние границы значений факторов для выбранного шага варьирования:

9. Составляется матрица планирования полного (или дробного) факторного эксперимента.

10. На основе матрицы планирования и с учетом вида физических параметров, изменяемых в ходе опытов, формируется список (S1), устанавливающий последовательность чередования опытов.

11. Выполняется весь объем экспериментальных исследований в соответствии с (S1). Регистрируется выборка значений выходного параметра (Y), по возможности выполняются параллельные замеры (Y). Пример в табл. 2.15.

12. Для оценки воспроизводимости (Y) рассчитываются выборочная дисперсия параллельных измерений (2.21) и критерий Кохрена (2.22) (пример в табл. 2.16).

Таблица 2.15

i	X1	X2	X3	y1	y2	y3
1	1	1	1	7,7	8,2	7,8
2	-1	1	1	2,1	2,6	2,2
3	1	-1	1	3,1	3,6	3,2
4	-1	-1	1	-0,1	0,4	0
5	1	1	-1	5	5,1	5,8
6	-1	1	-1	0,2	0,3	1
7	1	-1	-1	3,2	3,3	4
8	-1	-1	-1	0,8	0,9	1,6

Таблица 2.16

y1	y2	y3	y_sr	Дисперсия
7,7	8,2	7,8	8,4	0,07
2,1	2,6	2,2	4,4	0,07
3,1	3,6	3,2	6,4	0,07
-0,1	0,4	0	2,4	0,07
5	5,1	5,8	7,6	0,19
0,2	0,3	1	3,6	0,19
3,2	3,3	4	5,6	0,19
0,8	0,9	1,6	1,6	0,19
			G_ras =	0,046053

13. Если , то воспроизводимость выходного параметра хорошая, и выборку Y можно использовать для построения модели (перейти к шагу 14). Если , то выборочные дисперсии параллельных измерений Y не однородные и следует проанализировать причину такого результата. Необходимо выделить точки с большим отклонением от среднего по параллельным замерам и повторить эти опыты (перейти к шагу 11).

14. Выполняется расчет оценок дисперсии воспроизводимости (2.24), оценок линейных коэффициентов регрессии, средних квадратических отклонений коэффициентов регрессии и расчетных значений критерия Стьдента (пример на рис. 2.23).

15. Если , то коэффициент значимый, если , то случайно отличен от нуля, это незначимый коэффициент . После удаления всех незначимых коэффициентов переход к шагу 16.

16. Расчет критерия Фишера для линейного уравнения. Например,

Результаты расчетов, полученные в Excel, приведены на рис.2.24.

17. Если то перейти к шагу 18, иначе – к шагу 20.

18. Расчет коэффициента множественной корреляции.

Рис.2.23. Результаты расчетов на шаге 14, полученные в Excel

19. Если , то рекомендуется увеличить число факторов и перейти к шагу 4. Если , то можно принять гипотезу о математической модели в виде линейного уравнения регрессии . Модель в виде найденного линейного уравнения регрессии адекватна.

Рис.2.24. Результаты расчетов на шаге 16, полученные в Excel

20. Для повышения точности уравнения модели можно попытаться уменьшить шаг варьирования факторов

Если условие выполняется, то следует вернуться к шагу 8 и повторить расчет коэффициентов, характеризующих линейные эффекты.

Если уменьшить шаг варьирования факторов не удается, то необходимо дополнить уравнение эффектами взаимодействия.

21. Выполняется оценка коэффициентов регрессии ( ), характеризующих взаимодействия (2.79), средних квадратических отклонений коэффициентов ( ) и расчетных значений критерия Стьюдента ( ).

Если , то коэффициент значимый, если , то случайно отличен от нуля, это незначимый коэффициент ( ). После удаления всех незначимых коэффициентов переход к шагу 22.

22. Расчет критерия Фишера для уравнения вида

23. Если то перейти к шагу 24, иначе – к шагу 26.

24. Расчет коэффициента множественной корреляции.

25. Если , то рекомендуется увеличить число факторов и перейти к шагу 4. Если , то можно принять гипотезу о математической модели в виде нелинейного уравнения регрессии

.

Модель в виде найденного нелинейного уравнения регрессии адекватна.

26. Необходимо перейти к формированию плана второго порядка: ортогонального, центрального, композиционного плана (ОЦКП).

В качестве ядра плана принимается матрица планирования, созданная на шаге 9. Задаются параметры . Корректируется матрица плана.

27. Проводятся дополнительные опыты: в звездных точках и в центре плана. Регистрируется выборка значений выходного параметра (Y) в дополнительных опытах.

28. Так как выборка Y расширена новыми значениями, необходимо выполнить заново проверку воспроизводимости (2.21), (2.22).

29. Если , то воспроизводимость выходного параметра хорошая, и выборку Y можно использовать для построения модели (перейти к шагу 30). Если , то выборочные дисперсии параллельных измерений Y не однородные и следует проанализировать причину такого результата. Необходимо выделить точки с большим отклонением от среднего по параллельным замерам и повторить эти опыты (перейти к шагу 27).

30. Расчет оценок дисперсии воспроизводимости (2.24), оценок коэффициентов регрессии (2.92) - (2.94), средних квадратических отклонений коэффициентов и расчетных значений критерия Стьюдента.

31. Учитывая условие (2.90), из уравнения модели удаляются все незначимые коэффициенты.

32. Выполняется расчет критерия Фишера для квадратичного уравнения вида

33. Если то надо перейти к шагу 34, в противном случае следует переходить к другим формам нелинейных зависимостей (например, трансцендентному уравнению).

34. Расчет коэффициента множественной корреляции. Если , то рекомендуется увеличить число факторов и перейти к шагу 4. Если , то можно принять гипотезу о математической модели в виде квадратичного уравнения регрессии. Модель в виде найденного уравнения регрессии адекватна: