2.8.2. Дробный факторный эксперимент

С увеличением числа факторов ( ) резко возрастает число опытов в ПФЭ ( ). Для уменьшения объёма экспериментальной работы можно использовать дробный факторный эксперимент (ДФЭ). План ДФЭ создаётся на основе определённой части плана ПФЭ, поэтому его иногда называют дробной репликой ПФЭ. Число необходимых опытов для постановки дробного факторного эксперимента определяется как:

(2.80)

где p – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия при построении плана ДФЭ.

Расчёт оценок коэффициентов регрессии и проверка статистических гипотез по результатам ДФЭ осуществляются с использованием тех же соотношений, что и при постановке ПФЭ. Однако найденные значения являются смешанными оценками генеральных коэффициентов регрессии .

Для получения достаточно точных оценок коэффициентов уравнения регрессии можно обойтись количеством опытов, меньшим, чем в ПФЭ.

Особенности ДФЭ:

1. с уменьшением числа опытов N появляется корреляция между некоторыми столбцами матрицы планирования;

2. следовательно, становится невозможно раздельно оценивать эффекты факторов и эффекты взаимодействия;

3. следовательно оценки получаются смешанными.

Рассмотрим пример. Пусть надо построить математическую модель в виде линейного уравнения регрессии:

(2.81)

Тогда для ПФЭ необходимо поставить 8 опытов ( ), в ДФЭ число опытов можно уменьшить до четырех ( ). Второй и третий столбцы матрицы планирования (табл.2.10) заполняются так же, как в ПФЭ, а четвертый столбец формируется с помощью специального алгебраического соотношения – генерирующего соотношения.

Генерирующим называется соотношение, показывающее, какие взаимодействующие факторы заменены новыми.

Для рассматриваемого примера возможно использование одного из следующих генерирующих соотношений: или .

Таблица 2.10

i
	1	2	3	4	5	6	7
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1
3	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1
4	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1

С помощью столбцов 2-4 и результатов эксперимента (выборки значений Y) можно найти оценки коэффициентов регрессии , характеризующие линейные эффекты. Расчет осуществляется по тем же формулам (2.79), что и для ПФЭ.

Любая найденная на основе плана ДФЭ оценка коэффициента регрессии является смешанной, т.к. характеризует не отдельный теоретический коэффициент регрессии, а совокупный эффект, получающийся из-за совпадения пар столбцов в матрице планирования (например, столбец 2 совпадает со столбцом 6, а третий столбец – с пятым). Очевидно, найденная по четвертому столбцу ( ) оценка коэффициента ( ) будет характеризовать не только линейный коэффициент , но и эффект парного взаимодействия : .

На основе матрицы ДФЭ (табл.2.10) можно получить оценки для линейных коэффициентов. Их смешанный характер определяют соотношения вида:

где – коэффициенты регрессии, – оценки коэффициентов.

В рассматриваемом примере матрицу планирования для ДФЭ можно построить также с помощью генерирующего соотношения (табл.2.11).

Таблица 2.11

+1	+1	+1	-1	-1	-1	-1
+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1
+1	+1	-1	+1	+1	-1	-1
1	-1	-1	-1	+1	+1	-1

Тогда смешанные оценки определяются соотношениями

Объединим две матрицы планирования, получим план типа , где линейные эффекты определяются раздельно:

Среднее из сумм и разностей для 1-й и 2-й систем смешанных оценок позволило получить несмешанные оценки.

Для построения матрицы планирования ДФЭ используют специальные алгебраические выражения: генерирующие соотношения и определяющие контрасты.

Например, если генерирующее соотношение умножить на :

при L=2 ,

то получим определяющий контраст вида

(2.82)

Определяющий контраст позволяет найти, какие из коэффициентов являются несмешанными оценками роли факторов в процессе.

Если выбран определяющий контраст, то можно получить соотношения, задающие все смешанные оценки для рассматриваемой матрицы планирования ДФЭ. Для этого надо умножить каждый фактор на определяющий контраст. В математической модели (2.81) три фактора, поэтому получим три произведения:

или или или

(2.83)

Тогда смешанные оценки определяются соотношениями:

Обычно стараются так подобрать генерирующее соотношение, чтобы получаемые смешанные оценки позволяли выделять интересующие эффекты.

Например, составим матрицу планирования ДФЭ при n=4 и р=1. Тогда число строк в матрице планирования ДФЭ будет . Для планирования четвертого фактора используем генерирующее соотношение

тогда определяющим контрастом будет

Предположим, что существует априорная информация, что все тройные взаимодействия незначимы (статистически равны нулю), тогда уравнение модели примет вид

В соответствии с членами уравнения найдем произведения определяющего контраста на факторы и их взаимодействия, определив тем самым соотношения для смешанных оценок:

	(2.84)
	(2.85)

Так как все тройные взаимодействия незначимы, то из (2.84) следует, что найденные оценки будут раздельными характеристиками линейных эффектов. Из (2.85) следует, что оценки для парных взаимодействий будут смешанными.