- •1.Понятие случайного события.
- •2.Статистическое определение вер-ти.
- •3.Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.
- •4. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры.
- •5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры.
- •6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- •7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
- •8. Локальная теорема Муавра—Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции f(X). Пример.
- •9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.
- •10. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
- •11. Следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа (с выводом). Примеры.
- •12. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.
- •14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
- •15. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
- •16. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
- •17. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
- •18. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •19. Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •25. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения
- •26. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.
- •29. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
- •30. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).
- •31. Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
- •32. Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
- •33. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
- •35. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •36. Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
- •37. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
- •38. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
- •39. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
- •44. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
- •45. Критерий согласия - Пирсона и схема его применения.
- •46. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
35. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
Пусть с.в.Х образует ген.совокупность.У неё есть свой закон распределения,не известный нам..X Y-числовые характеристики. M(X),D(X) –парам.зада-е её зак.распр.(это некоторые числа не с.в.) M(X) –ген.средняя D(X)-ген.диспер. p –ген.доля(вер-ть того что х обладает некотор.св-вом,это не с.в.)
Эти неизвестные числа будут образовывать выборку. Х1…Xn выборка. Хi-распределеа так же как Х.Хi-с.в.
Задача состоит в том,чтобы по данным выборки,кот.явл.случ. оценить параметры ген.совок., которые случ.не явл.
Θ-некоторый параметр ген.сов.
Опр.оценкой параметра θ явл.любая функция выборки
-оценка параметра θ1
-с.в.её распред.связано с распред.с.в.Х
Опр.Оценка парам.θ наз-ся несмещённой,если её м.о.=оцениваемому парам.
Смещ.-если наоброт.
Опр.оценка пар.θназ-ся состаят.,если для неё выполняется закон больших чисел.
Опр.несмещ.оценка пар-ра θ, наз-ся эффективной,если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возмож.несмещ.оценок пар-ра θ вычисл.по выборкам одного и тогоже объёма n
Несмещ.оценки означ.,что при большом числе выборкиполуч.оценки будут.группироваться твокруг истинного знач.θ
36. Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
Т. Выбор.доля w=m/n повторной выбоки есть несмещ.и состоят.оценка ген.доли p=M/N,причём её дисперсия
Т.Выб.доля w=m/n беспов. выборки есть несмещ.и состоя.оценка ген.доли p=M/N
причём её дисперсия
q=1-p M(w)=p
Т.к. вер-ть того,что любой в выбоку эл-т обладает признаком А,есть ген.доля р,то из M(w)=p след.что частость или выб.доля w есть несмещённая оцека ген.доли р.
Оценка w=m/n состаятельна если
37. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
Т.выб.сред. повтор.выб. есть несмещ.и состоят.оценка ген.сред. 0 причём
Несмещ.:
Пусть Рассмотрим дисперсию оценки д /пов.выб.
Т.о.D( ) при след.состоят.
Т.выб.сред. беспов.выб.есть несмещ.и состоят.оценка ген сред 0 причём
38. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
Т.Выб.диспер.s2 повторной и беспов.выб.есть смещённая и состоят.оценка ген.дисп.σ2
Т.к.выб.диспер.всегда заниж. Ген.диспр.и рассматривают исправленную выб дисп.,явл.несмещ.и состоят.оценкой ген.дисп.
39. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
Рассматривание парам-ов θ одним числом.такие оценки называют точечными.для того что бы понять насколько близко истин.знач.пар-а от его точечной оценки.
Опр.Интервальной оценкой пар-ра θ наз-ся числовой интервал , который с заданной вер-ю γ накрывает неизвестное значение параметра θ. Этот интервал называется доверительным, а вер-ть γ-доверит вер-ть.
Наибольшее отклонение оценки от оцениваемого параметра θ,в частности,выб.сред.(доли)от ген вред(доли)которое возможно с заданной дов.вер-ю γ,наз-ся предельной ошибкой выборки.
Ошибка явл.ошибкой репрез. выборки.она возникает только вследствии того что исследуется не вся совокуп.а лишь часть её(выборка), отобранная случайно.(наз-ют случайн.)систематич.возникает в результате нарушения принципа случайности при отборе элементов в выборку
Дов.интр.д/ген.сред.:
40. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной доли признака. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной доли признака.
Вер-ть того что отклонение выборочной доли по апсолютной величине не привзойдёт числа ,равна
Где F-функция Лапласа, w-ген.доля p
Этот результат основывается на централ.пред.теор. В формуле D(w)есть неизв.пер. поэтому пользуемся приближ ф-ми. Сред.квад.ошибка
Доверит.интревал для доверит.доли может быть постр.по:
41. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
Вер-ть того что отклон. ген. сред. от a не привзойдёт по апсол.вел.числа где Ф-лап.
Это резул.следств.цен..пред.т.
В формуле есть неизв. перем. ,поэтому пользуются приближ. Сред.квад.ош.:
Доверит.интревал.надёжности γ для ген.сред.может быть найден:
42. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.
Для опред.n необход.задать надёжность оценки γ(дов.вер-ть) и точность Δ(пред.ош. выборки).
Для повтор.выб.при оценке ген. Сред.с надёжностью γ фор-ла для нах.объёма выборки имеет вид:
Где
Для беспов.
При оценке ген.доли для пов.выб.
Беспов.
Если найден объём повтор выб. n то объём соответствующей беспов. по фор-ле:
43. Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
Стат.гип.наз-ся предполож. о пар-ах или виде неизвестного закона распред. Н0-проверяемая гипотеза
Д/проверки стат.гип.испо-ся выборочная хара-ка (x1..xn) полученная по выборке (x1..xn) распределение которой известно. По этому выборочному распределению определяются θкр-критическое значение. Если гип.Н0 верна, то вер-ть Р( >θкр)=α мала;т. о.согласно принцыпу практической уверенности события Р можно считать практически невозмож. Соответвенно наоборот.
Правило по которому гип.Н0 отвегается или принимается наз-ся статич.критерием. Если была отвегнута верная гипотеза, то это ошибка 1-рода.Если принята неверная гип.- 2-рода.
Вер-ть допустить ошибку 1-рода наз-ся уровнем значимости. Вер-ть не допустить ошибку 2-рода наз-ся мощностью критерия. Принцып практической уверенности говорит, что при однократном повторении собятия имющие маленькую вер-ть не происходит.