Достатні умови опуклості функції від однієї змінної.

О1. Функцію називають строго опуклою донизу в точці x₀ якщо знайдеться такий окіл точки , що для будь-якого значення аргумента x з цього околу, за винятком точки x₀ значенню функції в точці x строго більше ніж значення відповідної ординати дотичної, проведеної до графіка функції в т очці , тобто

.

О2. Функцію називають строго опуклою донизу на проміжку, якщо вона строго опукла донизу в кожній точці цього проміжку.

З означення строго опуклого функціонала випливає означення 1.

Якщо функція диференційовна на проміжку, то означення 1 строго опуклої функції на проміжку і означення 2 рівносильні . (див. Зорич. Т.1, с ).

Теорема 1 (достатня умова строгої опуклості функції від однієї змінної в точці).

Нехай функція має похідну 2-го порядку в деякому околі точки x₀, неперервну в точці x₀. Якщо похідна функції в точці x₀ більша 0(менша 0), то функція відповідно строго опукла донизу (догори) в цій точці

Доведення

Використаємо формулу Тейлора із залишковим членом у формі Пеано:

Запишемо рівняння дотичної до графіка функції в точці

З (1) і (2), використовуючи означення нескінчено малої, маємо:

З (3), використовуючи означення 1, маємо:

Наслідок. Якщо похідна другого порядку функції в кожній точці проміжку , то функція відповідно строго опукла донизу (догори) на цьому проміжку, тобто:

Критерії знаковизначеності матриць

О1. Квадратну матрицю розмірності називають строго додатньо, строго від’ємно, нестрого додатньо, нестрого від’ємно визначеною, якщо для будь-якого не нульового n-вимірного вектора добуток цього вектора на матрицю і на вектор стовпець цього вектора строго більше, строго менше, і позначають:

Квадратну матрицю називають невизначеною, якщо знайдуться два ненульових n-вимірних вектора, такі що добуток одного з них на матрицю і на вектор-стовпець цього вектора більше нуля і добуток другого на матрицю і на вектор-стовпець цього вектора менше нуля.

Приклад

Теорема 1 (критерії Сильвестра знаковизначеності і невизначеності матриць)

Квадратна матриця строго додатньо, строго від’ємно, нестрогододатньо, нестроговід’ємно визначена тоді і тільки тоді коли відповідно всі головні мінори матриці додатні, і всі мінори матриці парного порядку додатні і всі головні мінори матриці непарного порядку від’ємні, всі головні мінори матриці невід’ємні і серед них існує хоча б один, який дорівнює 0, всі головні мінори парного порядку невід’ємні і всі головні мінори непарного порядку не додатні і серед них існує хоча б один, який дорівнює 0. Квадратна матриця невизначена тоді і тільки тоді, коли серед головних мінорів парного порядку знайдеться хоча б один менше 0 або серед головних мінорів непарного порядку знайдеться один додатній і один від’ємний, тобто:

І.

ІІ.

ІІІ.

IV.

V.

Доведення:

Доведемо твердження ІІ – IV. Вважаємо доведеним твердження І.

1. Доведемо, що матриця А від’ємно визначена тоді і тільки тоді, коли протилежна матриця –А додатньо визначена, тобто:

(1)

Використовуючи означення 1 і означення добутку матриць і означення добутку матриць на скаляр, одержимо:

Використовуючи (1), (І), (II) і властивість добутку рядка детермінанта на скаляр, одержимо:

Твердження ІІІ, IV доводяться аналогічно. Твердження V є заперечення тверджень I – IV, тобто . Тут ми використали закони де-Моргана.