Лінійні простори. Приклади

О₁. Не порожню множину L називають лінійним простором над полем P, якщо для елементів цієї множини введена бінарна алгебраїчна операція додавання і множення елементів цієї множини на скаляр поля P. Відносно операції додавання L-абелева група і відносно операції множення на скаляр виконуються аксіоми: множення на скаляр асоціативне; множення на скаляр дистрибутивне відносно додавання елементів множини L і відносно додавання скалярів.

При множенні довільного елемента множини на одиничний елемент поля P одержимо той же самий елемент множини L.

(Ø - лінійний простір над полем P)

2.

3.

4.

5. .

Якщо або , то лінійний простір називають відповідно дійсним, комплексним.

О₂. Непорожня множина називається підпростором цього простору, якщо множина U є лінійним простором

Критерій лінійного підпростору лінійного простору.

Якщо непорожня множина є підпростором простору, тоді і тільки тоді, коли сума довільних елементів множини U є елементом множини U і добуток довільного елемента множини U на довільний скаляр поля P є елементом множини U.

Лінійні нормовані простори. Приклади. Властивості норми.

Приклад

Позначимо через - простори послідовностей

Позначимо через

відповідно простори функцій модуль р-і, степені яких інтегровані за Лебегом, простори неперервних і простори обмежених функцій на сегменті . З теореми Вейєрштраса випливає, що . Використовуючи властивості інтегралів зв’язані з нерівностями маємо: Отже .

О₃. Лінійний простір називається нормованим, якщо для його елементів введено поняття норми.

Нормою елемента лінійного простору називається функціонал, визначений на всьому лінійному просторі, який є пів адитивним, позитивно однорідним і функціонал дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли елемент дорівнює нульовому елементу, тобто:

Властивості норми:

1. Невід’ємність норми довільного елемента лінійного нормованого простору невід’ємна, тобто:

Доведення: . Нехай . Тоді, використовуючи означення норми, одержимо:

2. Для будь-яких 2 елементів лінійного нормованого простору модуль норми різниці цих елементів не перевищує норми їх різниці, тобто . Використовуючи означення модуля і норми, маємо:

Теорема про метричність лінійного нормованого простору. Кожний лінійний нормований простір є метричним, якщо віддаль між двома довільними елементами цього простору дорівнює нормі їх різниці, тобто:

Доведення:

Використовуючи означення віддалі і аксіоми норми, одержимо:

Отже виконується аксіома І Лінденбаума.

Тому виконується аксіома ІІ Лінденбаума і простір - метричний.

O₄. Послідовність елементів лінійного простору збігається до елемента цього простору, якщо границя числової послідовності норми різниці між елементами послідовності і цим елементом нескінченно мала, тобто:

3. Неперервність норми.

Якщо послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента , то послідовність норм цих елементів збігається до норми елемента , тобто

Доведення:

Використовуючи теореми про границі послідовності і критерій нескінченно малої послідовності, маємо:

(І)

З нерівності І одержимо:

(1)

О₅. Функціонал називається рівномірно неперервним на множині лінійно нормованого простору, якщо для , знайдеться таке, що якщо норма різниці двох довільних елементів простору з цієї множини менша , то віддаль між їх образами менша , тобто:

– рівномірно неперервний на множині

.