4. Линейные уравнения высших порядков.

ифференциальное уравнение порядка n вида

y⁽ⁿ⁾(х) + p₁(x) y^(n–1)(х) +… +p_n–1(x) y^'(х) + p_n(x) y(х) = f(x), (1)

 

где коэффициенты уравнения p_i(x)(i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) – заданные функции, а у(х) – неизвестная функция, называется линейным.

 

Линейное уравнение (1) называется однородным, если f(x) º 0, и неоднородным в противном случае.

Для линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) вопрос о существовании и единственности задачи Коши, легко решается на основании следующей теоремы Пикара.

Теорема 1

Если в линейном дифференциальном уравнении (1) все коэффициенты p_i(x) (i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) непрерывны в интервале (а, b), то при любом х₀ Î (a, b) существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

 

у(х₀) = у₀, у¢(х₀) = у₀₁, ..., у^(n–1)(х₀) = у_0(n–1).

Определение. Пусть   - функции, имеющие все производные до  порядка включительно. Определителем Вронского  функций   называется величина

Определение. Пусть   определены ны интервале . Мы назовем их линейно зависимыми, если существуют постоянные , не все равные 0, такие, что для всех    (4).

Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (4) следует, что .

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Фундаментальной системой решений однородного линейного дифференциального уравнения называется упорядоченный набор из n линейно независимых решений уравнения.

Допустим, что определено общее решение ЛОДУ, соответствующего уравнения (21.8), в котором могут использоваться в качестве функций от . Функции составляют фундаментальную систему решений. Найдем частное решение для уравнения (21.8) в виде , в данном случае являются еще не известными функциями. Для того, чтобы их вычислить, требуется образовать систему уравнений. Получаем Если , то

используем в уравнении (21.8), далее сгруппируем слагаемые с

и :

 

 

Выражения, заключенные в круглые скобки являются нулевыми, поскольку представляют собой решения однородного уравнения. Таким образом, для нахождения обозначим систему

 

 

Для системы существует только одно решение, поскольку ее определитель .

Часть II

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Для дифференциального уравнения первого порядка

   (1)

существует достаточно много методов решений. Выбор каждого метода зависит от вида уравнения, при этом общего метода для решения всех уравнений первого порядка не существует.

Если уравнение можно записать в виде, разрешенном относительно производной

  , (2)

то выбор способа решения определить несколько проще, чем для уравнения (1).

Рассмотрим некоторые частные виды дифференциальных уравнений первого порядка.

К простейшему типу дифференциальных уравнений первого порядка относятся уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида (2), причем правая часть этого уравнения представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: либо от переменной , либо от переменной

   (3)

При этом возможен случай, когда какая-то одна из функций  и  или обе – константы.

Запишем производную в виде   и домножим обе части уравнения (3) на , получим

  .

Следующим шагом попытаемся разделить переменные, то есть сделать так, чтобы каждая часть уравнения содержала бы функции и дифференциалы одной и той же переменной. Этого можно достичь путем деления обеих частей уравнения на :

   (4)

Данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, которое можно проинтегрировать, получив тем самым общее решение (общий интеграл) уравнения (3)

  .

Замечание 1. При делении на  мы можем потерять отдельные особые решения, обращающие функцию  в нуль. Если же в уравнении (3) функция  тождественно равна нулю, то очевидно, что решением уравнения  будет некоторая константа .

Замечание 2. В некоторых случаях полученные интегралы не берутся в элементарных функциях, тем не менее, если существуют какие-то другие способы вычисления полученных интегралов, уравнение считается проинтегрированным.

Уравнение с разделяющимися переменными кроме виды (3) может иметь вид

   (5)

Привести такое уравнение к уравнению с разделенными переменными можно делением обеих частей равенства на произведение :

 

Полученное равенство можно интегрировать.

2. Однородные

3) квазиоднородное.

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k‑го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x, y, dx и dy члены левой части и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k: -2 = 2k = k-1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то , после чего получаем уравнение .

Интегрируя его, находим , откуда . Это общее решение уравнения (6.1).

4)Линенйное и бернулли.