Случайные величины и их свойства
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать случайные значения в зависимости от исхода испытания. Она может быть как дискретной, так и непрерывной.
Случайная дискретная величина X определена, если даны все ее возможные значения x1, x2, …, xk и соответствующие им вероятности P(xi) = pi. Она задается таблицей распределения.
x1 |
x2 |
… |
xk |
p1 |
p2 |
… |
pk |
В этой таблице величины x1, x2, …, xk расположены в порядке возрастания, причем сумма всех вероятностей равна 1. Представление в виде таблицы совокупности всех значений случайной величины и соответствующих вероятностей каждой из них, т.е. функции P(x), связывает значение xi с соответствующими вероятностями, называется законом распределения случайной величины.
Для непрерывной случайной величины закон распределения должен определять вероятность попадания ее значений в некоторый интервал.
Пусть X – непрерывная случайная величина. Тогда условие X<x для ее значений можно рассматривать как событие, вероятность наступления которого является некоторой функцией от x.
F(x) = P(X<x) (5.1)
F(x) называется интегральной функцией распределения случайной величины.
Свойства интегральной функцией распределения случайной величины
1. Значение интегральной функцией распределения случайной величины находится в интервале [0,1], т.е. 0 F(x) 1.
2. При имеет место F() F().
3. F() = 1.
4. F(-) = 0.
5. F(x) – непрерывная функция.
6. Выразим с помощью введенной функции вероятность того, что случайная величина x удовлетворяет условию x<, т.е. найдем P(x<). Можно показать, что
P(x<) = F() - F(). (5.2)
Иными словами, вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение внутри отрезка [,] в виде приращения функции F(x).
Для дискретной случайной величины значение функции распределения есть сумма вероятностей тех значений случайной величины, которые удовлетворяют условию X<x.
Как уже отмечалось, функция F(x) называется интегральной функцией распределения. Введем понятие о дифференциальном законе распределения вероятностей или о плотности распределения вероятности, x.
По определению
(5.3)
Очевидно, что
. (5.4)
Иначе говоря, произведение xdx приближенно определяет вероятность того, что случайная величина X принимает некоторое значение в интервале (x, x+x). Разница между функциями F(x) и x продемонстрирована на приведенных ниже рисунках.
|
|
Очевидно, что
. (5.5)
Среднее значение или математическое ожидание случайной величины
По определению среднее значение или математическое ожидание случайной величины есть сумма всех произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности
, (5.6)
причем
. (5.7)
Пример. Найти среднее значение количества годных изделий из 5 шт., если вероятность получения годного изделия равна 0.8.
Очевидно, что вероятность распределена здесь по биномальному закону.
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Pi |
P0,5 |
P1,5 |
P2,5 |
P3,5 |
P4,5 |
Pi,5 |
Pi,5 |
1/3125 |
40/3125 |
160/3125 |
640/3125 |
1280/3125 |
1024/3125 |
M(X) =(01 + 140 + 2160 +3640+41280+51024)/3125 = 4.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения этих величин не изменяется, когда становится известно, что другая приняла какое-либо одно значение.