48)Фильтр Чебышева второго рода

Ф ильтр Чебышева второго рода обеспечивает монотонное изменение АЧХ в полосе пропускания и равновеликие пульсации в полосе задерживания. Иногда фильтр Чебышева второго рода называют обратным к фильтру Чебышева первого рода. Это свойство фильтра Чебышева второго рода демонстрируется на рисунке. показано поведение АЧХ фильтра Чебышева второго рода 5-го порядка, частота среза взята раной единице w₀ = 1.

Передаточная функция фильтра Чебышева второго рода имеет и нули и полюсы. Она связана с передаточной функцией фильтра Чебышева первого рода следующим образом.

H1(s) и H2(s) - передаточные функции фильтров Чебышева первого и второго рода соответственно.

П олюсы передаточной функции фильтра Чебышева второго рода p_2i и полюсы передаточной функции фильтра Чебышева первого рода p1i связаны простым соотношением: . Другими словами полюсы этих фильтров Чебышева являются обратными друг другу. По этой причине фильтр Чебышева второго рода называют еще инверсным фильтром Чебышева.

На рисунке показаны полюсы и нули фильтра Чебышева второго рода 5го порядка в комплексной s - плоскости.

Здесь полюсы показаны красными точками, а нули (на оси Im(s)). Отметим, что все нули являются мнимыми числами и расположены на мнимой оси.

АЧХ фильтра Чебышева второго рода выражается простой аналитической формулой.

Здесь e - параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе задерживания. Как видно их рисунка АЧХ фильтра Чебышева второго рода ведет себя следующим образом – в полосе пропускания она монотонно затухает, а в полосе задерживания колеблется между нулем и значением .

Значение параметра e связывают обычно с уровнем пульсаций Rs в полосе задерживания (в децибелах) по следующей формуле.

В данном примере уровень пульсации в полосе задерживания был выбран в 20 дБ .

Это значит, что самое большое значение АЧХ в полосе задерживания равнялось 0.1:

49)Эллиптический фильтр

Эллиптический фильтр в некотором смысле объединяет в себе свойства фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ эллиптического фильтра имеет пульсации заданной величины, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

Эллиптический фильтр имеет максимально возможную крутизну ската АЧХ, то есть минимально возможную переходную область wD между полосами пропускания и задерживания. С точки зрения минимальной ширины переходной полосы эллиптический фильтр является оптимальным, т.е. для заданных порядка фильтра и уровня пульсаций, не существует других фильтров с более быстрым переходом от полосы пропускания к полосе задерживания.

Эллиптический фильтр имеет как полюсы, так и нули. Число полюсов N_p определяется порядком фильтра. Число нулей N_z равно максимальному четному числу, не превосходящему порядок фильтра

На оси Im(s) нули. АЧХ эллиптического фильтра, в общем случае описывается следующей аналитической формулой.

Здесь - w₀ частота среза, n – порядок фильтра, e и L – параметры, определяющие величину пульсаций в полосах пропускания и задерживания. Функция R_n(x , L) называется рациональной функцией Чебышева. Для анализа эллиптических фильтров нам достаточно знать несколько основных параметров. Это n – порядок фильтра, w₀ - частота среза, Rp- уровень пульсации АЧХ в полосе пропускания и Rs - уровень пульсации АЧХ в полосе задерживания.

Уровни пульсации позволяют найти следующие характерные значения АЧХ. Наименьшее значение пульсаций Ap в полосе пропускания находится по формуле.

(1)Здесь значение A₀ = 1. Наибольшее значение As пульсаций в полосе задерживания находится по формуле (2).Используя формулы (1), (2) для выбранных значений уровней пульсации получаем . От относительных единиц к децибелам АЧХ преобразуется по следующей формуле .

Общее правило для эллиптического фильтра - порядок фильтра равен суммарному числу минимумов и максимумов АЧХ в полосе пропускания.