3.2 Уравнения линий связи

Чтобы определить передаточные характеристики электрических линий, рассмотрим короткий кусок двойного проводника. В этом случае длина dz элемента проводника долж­на быть очень мала по сравнению с длиной вол­ны сигнала, распростра­няющегося вдоль линии.

Рис. 3. Токи и напряжения в участке двухпроводной линии.

На рис. 3 показаны со­отношения для токов и напряжений, которые за­висят от координаты z и времени t. По соседним участкам двух проводни­ков течет ток I(z) (в про­тивоположных направле­ниях), а сопротивление этих двух участков равно dR. Каждый из двух проводов окружен магнитным полем и, следовательно, обладает индуктивностью dL. Емкость двухпроводного участка длиной dz равна dC а потери в диэлектрике, разделяющем два провода, составляют dG. Эти величины обычно принято отно­сить к длине проводника. Их называют погонными величинами:

погонное сопротивление R' = dR/dz;

погонная индуктивность L' = dL/dz;

погонная утечка G' = dG/dz;

погонная емкость С' = dС/dz.

Эти четыре погонные величины полностью опреде­ляют электрические характеристики проводника, и если они постоянны вдоль всей длины проводника, то его называют однородным.

I

I+dI

R’dz

L’dz

dI

U+dU

C’dz

G’dz

U

Рис. 4. Эквивалентная электрическая схема бес­конечно малого участка двухпроводной линии.

Уравнения для двухпроводной линии можно легко получить с помощью эквивалентной электрической схемы для участка длиной dz (рис. 4):

dI= (I/z)= - UG’dz-C’dz(U/t)

dU= (U/z)= - IR’dz-L’dz(I/t)

или

(-I/z) = UG’-C’(U/t) (3.1)

(-U/z)= IR’ -L’(I/t) (3.2)

Если продифференцировать первое уравнение по t, второе по z, а затем подставить уравнение для на­пряжения, то получим

(3.3)

Выражение (3.3) часто называют телеграфным урав­нением. Соответствующее выражение для тока имеет точно такой же вид, только вместо U в нем стоит I [5.7, 5.10].

3.3 Передаточные характеристики электрических линий

3.3.1 Статический коэффициент передачи

Если /t = 0 и ²/t² = 0, то

и (3.4)

В этом случае напряжение и ток полностью опреде­ляются омическими и диэлектрическими потерями вдоль проводника. Решения дифференциальных урав­нений (2.4) имеют вид

U=U₁e^-z+ U₂e^z и I=I₁e^-z+ I₂e^z

где , а постоянные U₁,U₂, I₁ и I₂ определяются из граничных условий, а также из уравнений (3.1) и (3.2). Если напряжение в начальной точке (z = 0) равно Ue, а сопротивление Ra, то мы полу­чим статический коэффициент передачи K для проводника длиной l:

(3.5)

Погонное сопротивление вычисляют как омическое сопротивление внутреннего и внешнего проводника на единицу длины. Для типичного кабеля оно состав­ляет R’==2∙10^-3 Ом/м. Погонная утечка из-за высо­кого сопротивления диэлектрика крайне мала. Она составляет по порядку величины G' 10^-9 Ом^-1м^-1. Тогда при выражение (3.5) переходит в K=Ra/(Ra+R’l) (3.6).

Иными словами, в большинстве практически важных случаев K1.