2) Если среди собственных чисел матрицы (2) есть хотя бы одно с положительной действительной частью, то точка покоя системы (1)-неустойчива.

Замечание: Если точка покоя системы (3) устойчива, то об устойчивости точки покоя системы (1) ничего сказать нельзя, т.к. на поведение фазовых траекторий начинают влиять нелинейные члены разложения правых частей системы (1) (проблема центра и фокусы).

31. Фазовая плоскость и особые точки двумерных систем.

Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь большую размерность. В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра x, а на оси ординат – первая производная x по времени. Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени.

32. Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал изображения. Линейность, подобие, изображение свёртки. Формулы обращения преобразования Лапласа. Теоремы разложения.

Оригинал – комплекснозначная функция f(t) действительного переменного t удовлетворяющего следующим условиям:

1) f(t)=0 при t<0

2) f(t) интегрируемая функция на любом конечном интервале оси Ot

3) с возрастанием t, модуль функции растет не быстрее некоторой показательной функции,

т.е. m>0 , S₀ ≥0 что │f(t)│≤m*

s₀ - показатель роста f(t)

Функцию F(p) называют изображением функции f(t) по Лапласу, если выполняется равенство:

F(p)=

Св-ва:

1) Линейность. Для любых комплексных постоянных α и β αf(t)+βg(t)=αF(p)+βG(p), т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

2) Подобие. Для любого постоянного α>0 f(αt)= , т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число α приводит к делению изображения аргумента на это число.

3) Смещение. Для комплексного числа α , т.е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной p.

4) Запаздывание. Для любого τ>0 имеем f(t-τ)= , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину τ приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

В итоге преобразование Лапласа переводит дифф-ное уравнение (1) с учётом условий (2) в алгебраическое уравнение:

Где В-преобразование Лапласа функции b, Q-многочлен от р степени n-1, зависящий от коэффициентов уравнения и от начальных данных. Наконец:

Характеристический многочлен уравнения

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f(t) действительного переменного t , удовлетворяющая следующим условиям

1) , если t<0;

2) функция f(t) интегрируема на любом конечном интервале оси;

3) с возрастанием t модуль функции f(t) растет не быстрее некоторой показательной функции, т. е. существуют числа M>0 и такие, что для всех t имеем

(1)

Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного , определяемая равенством

(2)

При условие 3 обеспечивает существование интеграла (2).

Преобразование (2), ставящее в соответствие оригиналу f(t) его изображение F(t), называется преобразованием Лапласа. При этом пишут

34. Классификация уравнений математической физики.

Значительная часть Уравнений мат. физики составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:

, (1)

где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с, и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,..., хп (n ≥ 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно λ) уравнения

= 0, (2)

и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками.

Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу; если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу.

Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,..., хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,..., хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов.

Теоремы разложения.

1)Если функция F(p) в окрестности точки p= может быть представлена в виде ряда Лоренца

То функция f(t)= (t>0) является оригиналом, имеющим изображение F(p),

F(p)=

2)Если F(p)= – правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет лишь простые корни (нули) , ,…, , то функция f(t)= является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Формулы обращения.

3)Формула Меллина. Не только f(x) определяет F(p), но и наоборот. Это соответствие задается формулой обращения:

f(x)=

4)Формула Римана-Меллина. Изображение функции может быть найдено по формуле:

f(t)=

5) Дифференцирование оригинала. Если функции f´(t),f´´(t),…, являются оригиналами и f(t),f´(t),…, (t) непрерывны, то

f´=pF(p)-f(0),

f´´(t)= F(p) -pf(0) - f´(0),

f´´´(t)= - f(0) – pf´(0) - f´´(0),

……………………………………………………………

(t)= F(p) - f(0) - … - (0).

6) Дифференцирование изображения. Дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на -t , т.е. F´(p)=-tf(t).

7) Интегрирование оригинала. , т.е. интегрирование оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на p.

8) Интегрирование изображения. , т.е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t.

9) Умножение изображений.

F(p)*G(p)= g(t-τ) dτ

10) Умножение оригиналов.

f(t)*g(t)= .

В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).

Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.

33. Применение преобразования Лапласа к решению диф. Ур-ний и систем, уравнений в частных производных.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом:

(1)

И пусть ищется его решение, удовлетворяющее начальным условиям:

(2)

Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа: -Преобразование Лапласа функции У. Интегрируем по частям, мы найдём преобразование Лапласа производной У’:

Применяя эту формулу, найдём: Пусть, наконец,

Если из первого уравнения системы вычесть второе уравнение, то будем иметь

Подставим теперь полученные функции в общее решение (26):

Поменяем местами пределы интегрирования во втором интеграле, стоящем в скобках в (28). В результате получим решение исходной задачи Коши

Формула (29) называется формулой Даламбера.

39. Уравнения Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению: внутри круга, (1)

и граничному условию на границе круга, (2)

где - заданная функция, φ - полярный угол.

Введем полярную систему координат с началом в центре круга.

- полярные координаты.

Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид.

(3)

Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать частное решение уравнения (1), вида

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим

Окончательно, общее решение U(ξ,η) имеет вид

(25)

где C1(η) и C2(ξ) – произвольные функции.

Шаг 3. Для нахождения общего решения первоначального уравнения подставим в (25) вместо ξ и η выражения (24):

(26)

Шаг 4. Определим функции C1 и C2, используя начальные условия из (23). После подстановки первого условия получим

Найдем производную функции U в (26) по переменной t и подставим второе условие:

В результате будем иметь систему уравнений

Если проинтегрировать второе уравнение системы (27) по x в пределах от xo до х, то получим следующую систему:

При сложении этих уравнений получим

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

(4), (5)

Определим знак λ:

1 случай. Пусть λ<0, например

Рассмотрим уравнение (5)

Характеристическое уравнение имеет вид

-- это решение не подходит, так как при изменении угла φ на величину 2π однозначная функция U(ρ, φ) должна

вернуться к исходному значению (условие периодичности).

Отсюда следует, что то есть является периодической функцией угла φ с периодом 2π.

2 случай Пусть λ=0, тогда

-- это решение подходит для уравнения (5) системы при условии, что A=0.

3 случай. Пусть λ>0 например

Решение уравнения (5):

причем

Для решения внутренней задачи надо положить , так как, если , то функция обращается в бесконечность при ρ=0 и не является гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены:

-вид общего решения.

40. Метод сеток для решения уравнений математической физики.

Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) для приближенного численного решения краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения в частных производных состоит в том, что

1) на плоскости в области А, в которой ищется решение, строится сеточная область Аs, состоящая из одинаковых ячеек размером s (s – шаг сетки) и являющаяся приближением данной области А;

2) заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяется в узлах сетки Аs соответствующим конечно-разностным уравнением;

3) с учетом граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области Аs .

Решая полученную систему конечно-разностных алгебраических уравнений, получим значения искомой функции в узлах сетки Аs , т.е. приближенное численное решение краевой задачи. Выбор сеточной области Аs зависит от конкретной задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области Аs наилучшим образом аппроксимировал контур области А.

Рассмотрим уравнение Лапласа

(1)

где p ( x, y ) – искомая функция, x, y – прямоугольные координаты плоской области и получим соответствующее ему конечно-разностное уравнение.

Заменим частные производные и в уравнении (1) конечно-разностными отношениями:

Тогда решая уравнение (1) относительно p (x, y), получим:

(2)

Задав значения функции p (x, y) в граничных узлах контура сеточной области Аs в соответствии с граничными условиями и решая полученную систему уравнений (2) для каждого узла сетки, получим численное решение краевой задачи (1) в заданной области А.

Ясно, что число уравнений вида (2) равно количеству узлов сеточной области Аs, и чем больше узлов (т.е. чем мельче сетка), тем меньше погрешность вычислений. Однако с уменьшением шага s возрастает размерность системы уравнений и, следовательно, время решения. Поэтому сначала рекомендуется выполнить пробные вычисления с достаточно крупным шагом s, оценить полученную погрешность вычислений, и лишь затем перейти к более мелкой сетке во всей области или в какой-то ее части.