(1')

где ,

Говорят, что точка , есть точка покоя системы (1').

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя , устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было , можно найти такое , что для любого решения , начальные данные которого , удовлетворят условию

(2')

выполняются неравенства

(3')

для всех .

Для случая n=2 геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус ε цилиндра с осью Ot, в плоскости t=t0 найдется δ-окрестность точки (0, 0, t0) такая, что все интегральные кривые x1=x1(t), x2=x2(t), выходящие из этой окрестности, для всех будут оставаться внутри этого цилиндра.

Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие , то устойчивость асимптотическая.

Точка покоя x1=0, i=1, 2,…, n, неустойчива, если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения xi(t), i=1, 2, …, n, условие (3') не выполняется.

29. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем второго порядка.

Точку покоя y=0, будем называть устойчивой по Ляпунову, если , такое, что при выполнении условия ( будет выполнено условие .

Если кроме указанных требований выполняется , точку покоя у=0 называют асимптотически устойчивой.

Решение у называют устойчивой по Ляпунову, если такое что, удовлетворяет условию , будет подчиняться условию в любых других точках .

Если кроме этого выполнено , решение у(х) – асимптотически устойчиво.

Устойчивость означает, что фазовая траектория, покинув пределы окрестности точки покоя, попадает в её - и не выходит из неё.

Асимптотическая устойчивость: фазовая траектория покинув окрестность попадает в - точки покоя, а затем снова возвращается в -окрестность и устремляется в саму точку.

30. Устойчивость нелинейных систем по первому приближению.

Рассмотрим нелинейную автономную систему

Y₁^|=f₁(y₁,y₂,…,y_n)

Y₂^|=f₂(y₁,y₂,…,y_n)

………… (1)

Y_n^|=f_n(y₁,y₂,…,y_n)

Пусть а=(а₁,а_2,…,а_n) - положение равновесия системы (1)

Предположим, что функции f_I-непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам

Разложим функции f_i в окружности точки в ряд Тейлора, выделив при этом линейные ряды разложения.

Составим систему, коэффициент которой является коэффициент таких разложений, т.е. систему с матрицей коэффициента

(2)

Систему (3): y^|=Ay(3) c матрицей (2) называется системой первого приближения для (1)

Теорема

1) Если все собственные числа матрицы А системы 1-го приближения (3) имеют отрицательную действительную часть, то точка покоя системы (1)-асимптотически устойчива.