18. Общие понятия о диф. Ур-ниях высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
ОДУ
n-го
порядка имеет вид F(x,y,y’,..yn)=0
(1), F
- заданная в некоторой области D
функция. Уравнение вида
(2) называют разрешенным относительно
старшей производной.
Задача
Коши для (2) формулируется так: найти
решения (2) удовлетворяющие начальным
условиям (3) y(x0)=y0;
y’(x0)=y’0;
;
(3). Теорема сущ-я и единственности
решения задачи Коши: если функция f
и ее частные производные δf/δy,
δ f/δy’,
δf/δy(n)
- непрерывна
в некоторой области D
и точка (х0,y0,y’0…y(n-1)0)€D,
то существует интеграл (x0-δ,x0+δ)€D,
на котором ур-ние (2) имеет решение
удовлетворяющее условию (3) и это решение
единственное. Область D
называют областью единственности
решения задачи 2-3. Решением ур-ния 2
называют n
раз непрерывно диф-ю ф-цию y=ϕ(x),
обращающую 2 в верное тождество. Общим
реш-ем ур-я 2 наз-ют ф-ю y=
ϕ(x,C1,C2…Cn)
в области ед-сти D.
С1, С2, Сn
- производные постоянные которые
обладают следующими св-вами:
1) при любых значениях Сii=1,n-- .эта ф-я удовлетворяет ур-нию 2
2) каковы бы ни были начальные условия 3, всегда найдется набор постоянных C10,C20…Cn0, что ф-ция y=ϕ(x,C10,C20…Cn0) будет удовлетворять условиям 3. Решение, полученное из общего при конкретных значениях Сiх, называют частными. Если искомая ф-ция найдена неявным образом, то выражение вида Ф(х,у,С1,С2…Сn) называют общим интегралом. Частный интеграл получается из общего при конкретных значениях Сi. Если удается понизить порядок ур-ния 1 на единицу ,то выражение вида F(x,y,y’…y(n-1),C1)=0. Если на n единиц, то F~(x,y,y’…y(n-1),C2,…Ck)=0 называют к-ым интегралом.
19. Уравнения, допускающие понижения порядка.
Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка удается выполнить только в некоторых частных случаях. Укажем несколько классов уравнений, которые допускают понижение порядка.
Уравнение вида y(n)= f(x) . Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием, а именно:
y(n)= f(x),
y(n-1)=∫f(x)dx+c1=f1(x)+c1
y(n-2)= ∫[f1(x) +c1]dx=f2(x)+c1x+c2
y=fn(x)+ c1/(n-1)!*x(n-1)+ c2/(n-2)!*x(n-2)+..+cn-1x+cn
гдеfn(x)=∫∫…∫f(x)dxn .
В силу того, что, c1/(n-1)!, c2/(n-2)!,… являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано и так:
y=fn(x)+ c1x(n-1)+ c2x(n-2)+..+cn-1x+cn
2. Уравнение вида F(x, y’,..., y(n) ) = 0 – это уравнение, которое явно не содержит искомой функции y и ее производных до порядка k -1 включительно. С помощью замены
y’= z( x) понижается порядок уравнения:
F(x, z, z’,..., z(n-1) ) = 0 . Допустим, что для полученного уравнения можно найти общее решение z(x) =ϕ(x,C1,...,Cn-1 ) . Тогда решение искомой функции y=∫ϕ(x,C1,...,Cn-1 )dx+cn .
3. Уравнение вида F( y, y’,..., y(n) ) = 0 , которое не содержит явно не зависимой перемененной. Подстановкой
y’=z(y); y’’=dz/dy*dy/dx=z’*z; y’’’=d(y’’) /dy*dy/dx=(z’’*z+z’*z’)y’=z’’z2+z’2z
допустим что это уравнение имеет общее решение z=ϕ(y,c1,c2,…,cn-1)
dy/dx= ϕ(y,c1,c2,…,cn-1)
dy/ ϕ(y,c1,c2,…,cn-1)=dx
тогда общий интеграл x=∫ dy/ ϕ(y,c1,c2,…,cn-1)+cn
4. Уравнение F (x, y, y’,..., y(n) ) = 0 , однородное относительно функции y и ее производных. Это значит, что F (x, λy,λ y’,...,λy(n) ) =λm F (x, y, y’,..., y(n) ) порядок уравнения понижается подстановкой z= y’/y.
5) Уравнение вида d/ dx (F (x, y, y’ ,..., y(n -1) )) = 0
− это такое уравнение, у которого левая часть может быть представлена как
полная производная по x от некоторой функции F(x, y,y.,..., y(n-1) ) . Если проинтегрируем его по x , то получим новое уравнение, порядок которого на единицу ниже
порядка исходного уравнения.
6) Уравнение F (x, y, y’,..., y(n) ) = 0 называется обобщенным однородным, если существует такое число k, при котором левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно всех аргументов при условии, что x, y, y’,..., y(n) считаются величинами соответственно 1,k,(k -1),...,(k - n) -ой степени.
Чтобы узнать, будет ли уравнение обобщенным однородным и найти число k, необходимо сравнить показатели степеней, в которые число k будет входить согласно с определением каждого члена уравнения. Если полученные уравнения для k будут несовместными, то дифференциальное уравнение не является обобщенным.
После того, как число k найдено, необходимо сделать замену переменных x = et , y = zekt , где z = z(t) – новая неизвестная функция, а t – новая независимая переменная. Получаем уравнение, в которое не входит независимая переменная x . Порядок такого уравнения понижается одним из ранее рассмотренных способов
20. Понятие о краевых задачах. Линейная краевая задача.
Наряду с задачей Коши для ур-ния 2 ставятся так называемые краевые (граничные задачи), в которых решение ур-ния требуется найти при определённых условиях, заданных на концах указанного отрезка.
В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области. Например, уравнение
имеет бесконечное множество решений u (x1, х2) = f (x1+x2) + f1(x1-x2), где f и f1 — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Однако в прямоугольнике —а ≤ x2 ≤ a, 0 ≤ x1 ≤ l, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами x1, x2 уравнение (1) имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым
u (0, x2) = 0, u (l, x2) = 0, —а ≤ x2 ≤ a, (2)
и начальным
u (x1, 0) = φ(x1),
условиям. При этом дважды непрерывно дифференцируемые функции φ и ψ считаются наперёд заданными. Если переменное x2 есть время t, то решение u (х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины l с концами, закрепленными в точках (0, 0) и (0, l).
Вообще краевыми называют задачи, в которых в заданной области G пространства независимых переменных (x1,..., xn) = х ищется решение u (х) = u (x1,..., xn) уравнения Du (x) = 0, x ∈ G (4).
При требовании, что искомая функция u (х) на границе S области G удовлетворяет краевому (граничному) условию Bu (у) = 0, y ∈ S, (5), где D и В — заданные операторы. Граница S называется носителем краевых данных (5).
Когда операторы D и В линейны, К. з. (4), (5) называется линейной.
31
32