Косинус- и синус- преобразование Фурье и их свойства.

Косинус-преобразование функции f

Cинус-преобразование функции f

Комплексная форма интеграла Фурье.

Интеграл Фурье в комплексной форме

или

12. Интеграл Фурье. Косинус- и синус- преобразование Фурье и их свойства. Комплексная форма интеграла Фурье.

Интеграл Фурье

Интеграл Фурье для кусочно-непрерывной и абсолютно интегрируемой на функции f:

где

Если f чётная, то

интеграл Фурье

Если f нечётная, то

интеграл Фурье

(n=1,2, ...)

13. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Общее и частное решения.

Соотношение, связывающее неизвестную функцию, независимые переменные и производные по этим переменным называют дифференциальными уравнениями(ДУ).

Если неизвестная функция зависит только от первой переменной то уравнение называют обыкновенным диф. уравнением(ОДУ). Если же зависит от нескольких переменных называют ДУ частных производных.

Наивысший порядок производной входящей в уравнение называют порядком этого уравнения.

ОДУ n-го порядка имеет вид F(x,y,y’,..yⁿ)=0. Y(x)-неизвестная функция аргумента х. F - заданная в некоторой области функция.

14. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для диф. ур-ния первого порядка. Поле направлений, изоклины.

Уравнения 1-го порядка имеет вид F(x,y,y’)=0 (1)

Это уравнение называют неразрешенным относительно производной y’. Уравнение разрешенное относительно производной имеет вид (2) y’=f(x,y). Решением уравнения 2 называют непрерывно диф-ю функцию y=ϕ(x) , обращающую y’=f(x,y) в тождество в области Д-области задания функции f.

y’=x²; y=(x³/3)+C . Одной из основных задач теории диф. уравнений является задача Коши, которая формулируется так:

Найти решение уравнения y’=f(x,y) удовлетворяющее условию y(x0)=y0 (3). Х0, у0-начальные данные.

Теорема Коши: если функция f –непрерывна в некоторой области Д и имеет в ней непрерывную частную производную δϕ/δy , то существует решение задачи и это решение единственное. Доказательство этой теоремы основано на решении так называемого интегрального уравнения методом последовательных приближений.

Последовательное приближение строится по формуле: y’=f(x,y); y(x0)=y0

На плоскости ОХУ решение y=ϕ(x) определяет некоторую кривую, которую называют интегральной. Задача Коши заключается в том, что необходимо найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку с координатами х0,у0. Область Д называют областью единственности решения задачи.

Общим решением уравнения y’=f(x,y) в области единственности Д называют функцию y=ϕ(x,с) , зависящую от производной постоянной С и обладающую следующими св-вами:

1) При любом значении С эта функция обращает y’=f(x,y) в тождество.

2) Каковы бы ни были начальные данные х0,у0 найдется такое значение произвольной постоянной с0 , что функция y=ϕ(x,с0) будет удовлетворять начальному условию y(x0)=y0. Решение полученное из общего при конкретном значении С (может быть ±∞) называется частным. Если неизвестная функция найдена неявно, то выражение вида Ф(х,у,с)=0 называют общим интегралом уравнения y’=f(x,y), а Ф(х,у)=0 наз-ют частным интегралом .

Общему решению уравнения соответствует семейство интегральных кривых. Процесс нахождения решения дифф. уравнения называется интегрированием.

Если в каждой точке интегральной кривой нарушается единственность, то через каждую точку проходит еще 1 кривая имеющая в этой точке ту же самую касательную, то такую кривую называют особой интегральной кривой. А решение ей соответствующее называют особым решением.

Особая интегральная кривая является огибающей семейства интегральных кривых. Особое решение не содержится в общем ни при каком значении произвольной постоянной С.

Поле направлений, изоклины.

Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x,y) определяет в каждой точке (x,y), где существует функция f(x,y), значение y’, т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке.

Если в каждой точке области D задано значение некоторой величины, то говорят, что в области D задано поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) определяет поле направлений.

Тройка чисел (x,y,y’) определяет направление прямой, проходящей через точку (x,y). Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

18

20

Задача построения интегральной кривой часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (1) определяется уравнением

F(x,y)=k, где k — параметр. Придавая параметру k близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального yравнения (1).

Замечание 1. Нулевая изоклина f(x,y)=0 дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.

Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят y’’ в силу уравнения:

и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением

и есть возможное геометрическое место точек перегиба.

Замечание 2. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения (1), т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения (1) не определена.

Рассмотрим уравнение y’=y/x . Семейство изоклин определяется уравнением y/x=k. Это семейство прямых, проходящих через начало координат, так что в начале координат пересекаются изоклины, отвечающие различным наклонам касательных к интегральным кривым. Нетрудно убедиться, что общее решение данного уравнения имеет вид y=Cx и точка (0,0) является особой точкой дифференциального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривыми уравнения.

15. Диф. ур-ния первого порядка, интегрируемые в квадратурах: ур-ния с разделяющимися переменными, однородные.

Диф. уравнения 1-го порядка записанные в форме дифференциала имеют вид: Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0 . Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида М1(х)*N1(y)dx+M2(x)*N2(y)dy=0 (1) . Разделив 1-е на N1(y)*M2(x), получим: М1(х)/М2(х)dx+N2(y)/N1(y)dy=0 (2). Уравнение 2 называют уравнением с разделенными переменными.

При делении переменных могли быть утеряны решения, которые являются корнями уравнений М2(х)=0 N1(y)=0. Эти решения могут быть как частными так и особыми.

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся ур-я вида: y’=f(ax+by+c), a,b,c – константы. Вводим новую ф-ю z=ax+by+c или (z=ax+by) . Выбор подстановки влияет на процесс нахождения интеграла. Учитывая, что z’=a+by’; y’=(z’-a)/b. После подстановки получаем (z’-a)/b=f(z) или dz/dx=b*f(z)+a после деления переменных получаем dz/(b*f(z)+a)=dx

Однородные уравнения и приводящиеся к ним.

f(x,y)=x⁴-x²*y²+5xy³+x³y=(λx)⁴-(λ²x²)(λ²y²)+5(λx)(λy)³+(λx)³*λy=λ⁴f(x,y)

Надо проверить на однородность. Функция является однородной, если для нее выполняется равенство f(λx,λy)=λ^mf(x,y). Число m наз-ют порядком однородности. Если в ур-и Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0 (1) P(x,y);Q(x,y) - являются однородными ф-ми одной и той же степени однородности, то 1 называют однородным ур-ем.

Однородное ур-е приводится к ур-ю с разделяющейся переменной с помощью подстановки z=y/x (2). Из 2 имеем y=z*x, тогда dy=xdz+zdx. Подставляя в 1 получим P(x,zx)dx+Q(x,zx)*(xdz+zdx)=0. Т.к. P, Q однородное, например, степени m, то, считая λ=х, будем иметь x^mP(1,z)dx+x^mQ(1,z)xdz+ x^mQ(1,z)zdx=0 или (P(1,z)+Q(1,z)*z)dx+Q(1,z)xdz=0

После деления переменных будем иметь dx/x+Q(1,z)/(P(1,z)+Q(1,z)*z)*dz=0

Общий интеграл запишется

Утерянными решениями могут быть x=0 или P(1,z)+Q(1,z)z=0 эти решения могут быть как частными, так и особыми.

Ур-я приводящиеся к однородным.

уравнения вида y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2))

1)

Вводится подстановка

X= +α

Y=ӯ+β

α, β являются решением системы.

a1α+b1 β+c1=0

a2α+b2 β+c2=0

относительно нового аргумента и новой функции ӯ уравнение становится однородным.

Решается подстановкой z= ӯ/ .

2) Δ = 0

a1 = ka2

b1 = kb2

уравнение имеет вид

у’=f((k*(a2x+b2y)+c1)/(a2x+b2y+c2)) приводит к уравнению с разделяющимися переменными

подстановка - z=a2x+b2y

2)обобщенные однородные уравнения

Уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называют обобщенным однородным если существует такое число k что левая часть уравнения становится однородной ф-цией если считать x,y,dx,dy- величинами соответственно порядков 1,k,0,k-1 обобщенное однородное уравнение сводится к подстановке z=y/x^k .

27

33

16. Диф. ур-ния первого порядка, интегрируемые в квадратурах: линейное уравнение, уравнение Бернулли.

Линейное уравнение.

Линейным уравнением называют уравнение вида y’+p(x)*y=q(x) (1)

Уравнение 1 является линейным неоднородным, если . y’+p(x)y=0 (2).

Уравнение 2 называют соответствующим однородным для 1 . если в 1 коэффициент p(x) и свободный член q(x) непрерывно на некотором интервале I то существует на этом интервале единственное решение уравнения 1 удовлетворяющее начальному условию (3) (x0,y0)€ I

Уравнение Бернулли.

Уравнением Бернулли называют уравнение вида y’+p(x)*y=q(x)*yⁿ (1)

Приведем 1 к линейному уравнению после деления на уⁿ

y’*y^-n+p(x)y^1-n=q(x)

z=y^1-n (2)

Дифф-ем 2 получаем z’=(1-n)*y^-n*y’

Z’/(1-n)+p(x)z=q(x) (3)

Ур-е 3 является линейным относительно z. Ур-ние может быть ур-нием Бернулли и относительно х, как ф-ция у, тогда она примет вид dx/dy+p(y)x=q(y)xⁿ (4)

Ур-ние 1 или 4 имеют особое решение у=0 или х=0 только при 0<n<1

17. Диф. ур-ния первого порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель.

Уравнения в полных дифференциалах

Если левая часть ур-я P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 представляет собой полный дифференциал некой ф-ии U(x,y),то (1) наз-ют ур-ем в полных диф-лах.

Такое ур-ние можно записать в виде d(u(x,y))=0, то общее решение будет иметь вид U(x,y)=C (1’). С=сonst . Согласно определению полного дифференциала имеем du=(δu/δx)*dx+(δu/δy)*dy (2). Сравнивая (1,1’,2), получим δu/δx=P(x,y); δu/δy=Q(x,y) (3). Дифференцируя 1-е из (3) по у (2-ое по х), имеем δ²u/(δxδy)=δP/δy=δQ/δx (4) - необходимое и достаточное условие для того, чтоб (1) было ур-ем в полных диф-лах.

Алгоритм решения:

1) Если выполнено условие 4 то решение уравнения 1 ищем в виде U(x,y)=C

2) Для нахождения u согласно 1 составляем систему δu/δx=P(x,y); δu/δy=Q(x,y).

3) Интегрируем одно из ур-й 3. Если первое, то по х считая у постоянным (если 2 по у).получаем ; 2:

4) Диф-ем найденную ф-ю u по у (если 2 то по х).сравниваем найденную производную с правой частью второго уравнения. Получаем (δ/δy)* =Q(x,y)-для 1(для 2 аналогично)

5) Определив из полученных равенств (или ). Интегрируем найденные ф-и и подставляем их в выражение для ф-и u.

6) Приравниваем полученную ф-ю u к произвольной константе. Получаем общий интеграл уравнения 1. Особых решений не имеет.

Интегрирующий множитель.

Пусть P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 не является уравнением в полных диференциалах, но существует такая ф-ция μ(х,у), после умножения на которую левая часть 1 становится полным дифференциалом μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=0 (2). Для 2 имеем δ(μP)/δy= δ(μQ)/δx (3). Из 3 μ(δP/δy)+P(δμ/δy)=μ(δQ/δx)+Q(δμ/δx) (4). 4 явл-ся уравнением в частных производных относительно неизвестной ф-ии μ(х,у) и в общем случае переменна.