4. Функциональные ряды, сумма ряда, область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса.
Ряд
,
члены которого являются функциями от
переменной х, называется функциональным.
При различных значениях х из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Из всех функциональных
рядов простейшими и наиболее
употребительными являются степенные
ряды вида
или более общего вида
Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения х, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуют особо, посредством других признаков сходимости рядов.
Ряды, для которых
признаки сходимости выполняются
одновременно во всей области определения
функций
,
называются равномерно сходящимися.
Наиболее важные свойства и теоремы для равномерно сходящихся рядов непрерывных функций:
1. Сумма ряда
является непрерывной функцией;
2. Функциональный
ряд может быть проинтегрирован почленно
по любой кривой:
5. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.
Если все члены
функционального ряда, равномерно
сходящегося в отрезке (a,b),
непрерывны в этом отрезке, то и сумма
s(x)
ряда непрерывна в отрезке (a,b).
Т.к. непрерывность членов
функционального
ряда полностью равносильна непрерывности
частичных сумм
этого ряда, то это значит, что и если
все члены последовательности s1(x),
s2(x),
…, Sn(x),
равномерно стремящейся в отрезке (а,b)
к предельной функции s(x),
непрерывны в этом отрезке, то и функция
s(x)
непрерывна в этом отрезке.
Последовательность
функций f1(x),
f2(x),
…, fn(x),
… равномерно сходится к функции f(x)
в отрезке (a,b),
если для любого ε>0
найдётся такой номер n₀,
что при
и
при
мы
будем иметь:
Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.
Если степенной ряд сходится на интервале (-R; R) и его суммой является функция f(x), то ряд, полученный от его почленного дифференцирования, имеет тот же интервал сходимости и сумму, равную f’(x), т.е. равную производной от суммы ряда.
Отметим, что поведение этих двух рядов на концах интервала сходимости может быть различным.
Если степенной ряд сходится на интервале (-R; R) и его суммой является функция f(x), то ряд, полученный от его почленного его интегрирования, имеет тот же интервал сходимости, а его сумма есть та из первообразных функций для f(x), которая равна 0 при x=0.
6. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где a0,
a1,
a2,
…,an,…,
а также x0
– постоянные числа. Точку x0
называют центром степенного ряда.
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в котором коэффициенты an берутся из некоторого кольца R.
Степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида
всегда сходятся при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.
Теорема
Абеля. Если
степенной ряд
сходится при некотором
,
где β
- число, не равное нулю, то он сходится
абсолютно при всех значениях x таких,
что
И наоборот, если этот ряд расходится
при
,
то он расходится при всех значениях x
таких, что
Признак Вейерштрасса:
Если
для ряда
составленного из
действительных или комплексных функций,
определенных на некотором множестве
Е, существует числовой сходящийся ряд
такой,
что
,
n
= 1, 2, … , то исходный ряд сходится
равномерно и абсолютно на множестве
Е.
Если
для последовательности действительных
или комплексных функций
,
n
= 1, 2, … , сходящейся на множестве Е к
функции f(x),
существует бесконечно малая числовая
последовательность
такая,
что
то
данная последовательность сходится
на множестве Е равномерно. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости
переносится на функции, значения которых
лежат в нормированных линейных
пространствах.
Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Интервал (-R;R), где число R определено R>0 , называется интервалом сходимости степенного ряда, а число R – радиусом сходимости этого ряда.
На
практике радиус сходимости степенного
ряда чаще всего определяют с помощью
признака сходимости Даламбера.
Предположим, что все коэффициенты
степенного ряда отличны от нуля и
существует предел
Тогда радиус сходимости находится по
формуле
В силу признака Даламбера ряд
сходится, если
число
меньше 1, и расходится,
если этот предел больше 1. Иначе говоря,
ряд сходится для всех x таких, что
и расходится при
Это и означает, что число
является радиусом сходимости ряда.
7. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование.
Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда
1. Сумма степенного
ряда является непрерывной функцией в
каждой точке интервала сходимости
этого ряда
Почленное дифференцирование.
2. Ряд, полученный
почленным дифференцированием степенного
ряда, является степенным рядом с тем
же интервалом сходимости, что и данный
ряд, причем
Почленное интегрирование.
3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом
где
7
8
9
10
12