4. Признак Коши.

Дан знакоположительный ряд .

Если , то при ряд сходится, при ряд расходится, при признак не применим.

Замечание. При решении примеров признак Коши целесообразнее применять в том случае, когда извлекается n-я степень из общего члена ряда.

6. Интегральный признак.

Пусть ряд – положительный и его члены не возрастают, т. е.

,

и пусть – такая непрерывная невозрастающая функция, что

Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится.

3. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница.

Дан знакочередующийся ряд , и выполняются условия: 1) , т. е. члены убывают по абсолютной величине; 2) , тогда знакочередующийся ряд сходится, его сумма и остаток . Теорема Лейбница позволяет исследовать ряд на сходимость, оценить сумму сходящегося ряда и его остаток, что используется в приближенных вычислениях.

Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе — сходящимся условно.

Признаки абсолютной сходимости:

Признак сравнения

Если при , то:

если ряд сходится, то ряд сходится абсолютно.

если ряд расходится, то ряд расходится.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если существует (и не бесконечен), но

Свойства:

1. Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.

2. Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана).

3. При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.