где

Отсюда Bn равны

Вычислив коэффициенты An и Bn для конкретных начальных функций и подставив их значения в (12), мы получим решение первой начально-краевой задачи.

Замечание 2. Используя формулу (12), можно получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения колебания струны: Для этого проведем замену переменной τ=at и получим

При этом начальное условие не изменится, а условие преобразуется к виду Тогда решение задачи в переменных (x,τ) будет иметь вид

где

Возвращаясь к переменным (x,t), получим

(12)

также будет решением этого уравнения, причем функция U(x,t) удолетворяет заданным граничным условиям (10).

Замечание 1. Здесь мы предполагаем, что полученный функциональный ряд равномерно сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и по t в области 0<x<l, t>0. Об условиях, при которых это можно сделать, будет рассказано в лекции 5.

Шаг 5. Определим коэффициенты AnиBn в формуле (12), используя начальные условия (11). Из первого начального условия получим

(13)

Равенство (13) означает, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями Xn(x) задачи Штурма-Лиувилля.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

Из второго начального условия находятся коэффициенты Bn.

Тогда

Из граничных условий (10) получим

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Она имеет собственные значения и собственные функции

Шаг 3. Подставим найденные значения λn в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (9):

Для волнового уравнения эти решения называются собственными колебаниями. В лекции 6 мы изучим их подробнее. В силу линейности и однородности уравнения (9) линейная комбинация этих решений

Рассмотрим точки (x1,y) и (x2,y), принадлежащие прямоугольнику R. На R справедливо тождество (8), а поэтому

Сравнивая эти равенства, приходим к противоречию с нашим предположением. СледовательноX(x) = const, а тогда Y(y)=const.

Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Рассмотрим волновое уравнение

(9)

Граничные условия первого рода

(10)

И начальные условия

(11)

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1. Представим функцию U(x,t) в виде

Найдем частные производные Uxx и Utt и подставим в уравнение (9):

В полученном уравнении левая часть зависит только от x, а правая только от t. Используя основную лемму, заключаем:

37. Метод Фурье решения волнового уравнения.

Метод Фурье - один из распространенных и эффективных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод часто встречается и под другими названиями: метод разделения переменных или метод собственных функций.

Общая схема метода Фурье.

Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом, решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

При применении метода Фурье удобно использовать следующую лемму.

Основная лемма метода Фурье.

Если в прямоугольнике R плоскости XOY:

для некоторых функций выполняется тождество

(8)

то в этом случае

Доказательство. Предположим противное, т.е. что

Тогда существуют значения такие, что

Тогда общее количество теплоты:

По закону сохранения тепловой энергии в кубике ΔV это количество теплоты равно произведению удельной теплоемкости с, скорости изменения температуры , объема кубикаΔхΔуΔz и времени Δt. Отсюда получаем:

Обозначив а² = α/с, приведем последнее равенство к виду

Это соотношение и есть искомое уравнение теплопроводности твердого изотропного тела.

Если же плотность тепловых источников в теле V равна F(x, y, z, t), то уравнение теплопроводности принимает вид:

Граничное условие может быть задано одним из возможных способов:

, где f(S,t) - известная функция точек поверхности S и времени t;

, где F(S,t) - заданная функция точек поверхности S и времени t;

при теплообмене с окружающей средой граничные условия в общем случае имеют вид:

Начальные условия теплопроводности имеют вид:

Уравнение примет вид:

Г) , где функции , определяют закон движения концов.

2)Уравнение теплопроводности.

Рассмотрим твердое тело V. Пусть температура этого тела в любой точке (х; у; z) в момент времени определяется функцией u(х; у; z; t). Тогда производные - характеризуют скорость изменения температуры в момент времени t.

Выделим элементарный кубик ΔV в теле V и составим для него уравнение теплового баланса.

Количество теплоты, проходящей через переднюю грань кубика ΔV в положительном направлении оси ОХ за время Δt равно -

Аналогично количество теплоты, проходящей через заднюю грань в положительном направлении оси ОХ - .

Отсюда количество теплоты ΔQ_x, входящей в кубик через заднюю и переднюю грани за время Δt, равно:

Рассуждая подобным образом, получаем приближенно количество теплоты ΔQ_y и ΔQ_z, вошедшее в кубик через левую и правую, нижнюю и верхнюю грани:

Пусть p(x,t) – непрерывная линейная плотность внешних сил, тогда на участке вдоль оси Ou действует сила p(x,t)Δx. Для нахождения силы инерции участка воспользуемся выражением - , где m=pΔx.

Таким образом, проекция на ось u силы инерции - , а проекция всех сил на ось Ou:

или

Функция u(x,t) удовлетворяет начальным условиям , где , - заданные функции

Вывод краевых условий:

А) Если концы струны закреплены жестко:

.

Б) В случае свободных концов для получения условия х=0, спроецируем на ось Оu силы, действующие на участке. Так как натяжение в точке х=0 действует лишь параллельно оси Ox, то проекция сил натяжения на участке равна -

Проекция внешней силы равна -p(0,t)Δx, а проекция силы инерции равна -

Получим

Устремим Δх к нулю, тогда, вследствие непрерывности и ограниченности входящих функций, получим условие -

В) Действие упругих сил заделки на левом конце дается выражением – ku(0,t). Приравниваем в этом случае проекцию всех сил, действующих на участке, на ось Оu, нулю

36. Вывод основных уравнений математической физики: колебания струны, теплопроводности.

1) Уравнение колебаний струны

Постановка задачи. Струна длиной L натянута с силой T₀ и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Вывести уравнение колебаний точки струны при t>0, если концы струны:

а) Закреплены жестко;

б) Свободны;

в) Закреплены упруго;

г) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Решение.

Пусть ось Ох совпадает с направлением струны в положении равновесия. Под струной понимается тонкая нить, которая не сопротивляется изгибу, не связанному с изменением ее длины.

Для вывода уравнения колебаний выделим участок струны от x до х+Δх и спроецируем все действующие на этот участок силы на оси координат. Согласно принципу Даламбера сумма проекций всех сил должна равняться нулю. Так как здесь изучаются только поперечные колебания, то можно считать внешние силы и силу инерции направленными вдоль оси Оu.

В процессе вывода уравнения будем пренебрегать квадратами величины .

Найдем проекции всех сил в момент времени t на ось Ou:

35. Приведение линейных уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду.

Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :

- если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

- если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

- если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

38. Метод Даламбера решения уравнений математической физики.

Решение задачи Коши для волнового уравнения

(23)

проведем методом Даламбера. При этом процесс решения разобьем на несколько шагов.

Шаг 1. Заменим переменные (x, t) новыми переменными (ξ,η), в которых волновое уравнение примет другой вид: Такая замена выполняется по формулам

(24)

После подстановки производных в волновое уравнение, получим:

что и требовалось доказать.

Шаг 2. Преобразованное уравнение легко решается двумя последовательными интегрированиями (сначала по переменной η, а затем по ξ):

где C1(η) – произвольная функция от η. Так как C(ξ) – произвольная функция, то и – также произвольная функция.