3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей

Обсудим теперь более общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. Разумеется, и в таких случаях решение основывается на принципе эквивалентности платежей до и после изменения условий. Метод решения заключается в разработке упоминавшегося выше уравнения эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то получим следующие уравнения эквивалентности в общем виде:

при использовании простых процентов

при использовании сложных процентов

Здесь S_j и n_j — параметры заменяемых платежей, S_k и n_k — параметры заменяющих платежей.

Конкретный вид уравнения определяется содержанием контрактов, поэтому методику разработки уравнений эквивалентности удобнее показать на примерах. Для этого рассмотрим три примера. В двух первых для дисконтирования применяются простые ставки, в последнем — сложные.

Пример 3.9. Две суммы — 10 и 5 млн. руб. должны быть выплачены 1 ноября и 1 января (следующего года). Стороны согласились пересмотреть порядок выплат: должник 1 декабря выплачивает 6 млн. руб. Остаток долга гасится 1 марта. Необходимо найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 20% (K = 365). Графическое изображение условий задачи приведено на рис. 3.2.

Возьмем за базовую дату, например, момент выплаты 5 млн. руб. Уравнение эквивалентности в этом случае будет выглядеть следующим образом:

Находим S = 9,531 млн. руб.

Заметим, что при применении простых ставок изменение базовых дат приводит к некоторым, впрочем незначительным, смещениям результатов. Например, при приведении платежей к 1 марта получим следующее уравнение эквивалентности:

Теперь S = 9,523 млн. руб. Отмеченная зависимость результата от выбора базовой даты объясняется тем, что если n = п₁ + n₂, то (1 + ni) <> (1 + n₁i)(l + n₂i).

Пример 3.10. Имеется обязательство уплатить 10 млн. руб. через четыре месяца и 7 млн. руб. через восемь месяцев после некоторой даты. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через три и девять месяцев. Изменение условий осуществляется с использованием простой ставки, равной 10% (K = 360). Примем в качестве базовой даты начало отсчета времени. Уравнение эквивалентности в этом случае записывается следующим образом:

10(1 + 4/12 х 0,1)^-1 + 7(1 + 8/12 х 0,1)^-1 = S(1 + 3/12 х 0,1)^-1 + + S(1 + 9/12 х 0,1)^-1.

Отсюда S = 8,521 млн. руб.

Перейдем к примеру со сложной процентной ставкой.

Пример 3.11. Существует обязательство уплатить 100 млн. руб. через пять лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга следующим образом: через два года выплачивается 30 млн., а оставшийся долг спустя четыре года после первой выплаты (рис. 3.3). Необходимо определить сумму окончательного платежа. Уравнение эквивалентности составим на начало отсчета времени.

l00v⁵ = 30v² + Sv⁶.

Можно составить уравнение эквивалентности на любую другую дату. Например, на конец шестого года. В этом случае

100(1 + i) = 30(1 + i)⁴ + S.

Данное уравнение легко получить из предыдущего, умножив его на (1 + i)⁶.

При решении любого из приведенных уравнений относительно S при условии, что ставка равна, допустим, 10% годовых, находим S = 133,233 млн. руб.

Заметим, что изменение базовой даты при применении сложных процентов не влияет на результаты расчетов по замене платежей.