Тема 3. Производные и дифференциалы функции

1.Определения

Сформулируйте определение:

1. производной функции f(x) в данной точке;

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается , (х₀)=Lim (f(x₀+х)-f(x₀))/х xx₀

2. правой производной функции f(x) в данной точке;

Правой производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.                            

3. левой производной функции f(x) в данной точке;

левой производной функции f(x) в точке х = х₀ называется левое значение предела отношения  при условии, что это отношение существует. 

4. дифференцируемой в данной точке функции;

Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x₀ если сR: в некоторой окрестности точки x₀ f(x)=С(x-x₀)+f(x₀)+o(x-x₀)

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.

или

Функция y=f(x) называется дифференцируемой

в точке х, если приращение ∆у=∆f(x) этой функции в точке х,

соответствующее приращению аргумента∆х, может бытьпредставлено

ввиде

∆у=А⋅∆х+α(∆х)⋅∆х,

где А - константа, не зависящая от ∆х, а α(∆х) - является бесконечно

малойпри∆х→0.

5. касательной к графику функции y=f(x) в точке х0 и запишите уравнение касательной;

Касательной к графику функции y=f(x), дифференцируемой в точке А называется прямая, представляющая предельное положение секущей АВ (если оно существует) когда В -> А.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке имеет вид .

6. дифференциала функции в данной точке;

Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно  x часть приращения  y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x) x.

7. n-ой производной функции в данной точке;

производная y^n(x₀) любого порядка. Т.е. если в точке х ∈(a,b) существует производная функции y^(n-1)(x₀), то она называется производной функции y(x) порядка n в точке x₀.

8. бесконечно дифференцируемой функции f(x) в данной точке;

9. n-ного дифференциала функции в данной точке;

: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке x_O называют функцию dхf^N(x)*dх и обозначают d^Nf(x).

2. Основные теоремы и формулы (без доказательства)

Сформулируйте:

2.1 достаточное условие существования касательной к графику функции y=f(x);

 Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел

2.2 теорему о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций;

2.3 теорема о производной сложной функции;

2.4 теорема о производной обратной функции;

Запишите:

2.5 формулы дифференциалов суммы, разности, произведения и частного двух функций;

2.6 формулу для производной функции, заданной параметрически.

3. Вопросы и задачи

3.1 Пользуясь определением производной, выведите формулы производных формул

3.2 Пользуясь теоремой о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций выведите формулы для производных функций: а) tg x; б) ctg x.

3.3 Найдите односторонние производные f’(-0), f’(+0) функции f(x)=|x|.

3.4 При каких условиях функция

Где g(x) и h(x)- дифференцируемые функции в области своего определения, дифференцируемы на всей числовой прямой?