18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.

Рассмотрим общую задачу численного интегрирования с весовой функцией . При построении квадратурных формул интерполяционного типа необходимо ввести дополнительно условие на весовую функцию: (1) Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :

. (2)

При построении квадратурных формул Ньютона-Котеса узлы распределялись равномерно по отрезку [a,b]. Очевидно, что такой способ выбора узлов становится невозможным для несобственных интегралов с бесконечными пределами.

Возникает вопрос: как выбрать систему узлов квадратурной формулы, чтобы формула (2) имела наивысшую возможную алгебраическую степень точности?

Напомним, что квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности , если она точна для многочленов степени меньшей или равной .

Заметим, что формула (2) содержит всего 2n неизвестных параметров (n узлов и n весовых коэффициентов). Столько же коэффициентов содержит и произвольный многочлен степени 2n-1.

Таким образом, наивысшая алгебраическая степень точности формулы (2) не может быть больше 2n-1.

19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :

. (2)

Опр 1. Квадратурная формула (2), обеспечивающая условие:

называется квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.

Теорема 1. Пусть {P_k(x)}, k=0,1,…, - система ортогональных с весом многочленов на [a,b]. Для того чтобы формула (2) была квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности, необходимо и достаточно, чтобы узлы совпадали с нулями многочлена P_n(x). При этом такая квадратурная формула - единственная.

Необходимость. Из теории ортогональных многочленов известно, что при выполнении условия (1) на весовую функцию, существует полная ортогональная на [a,b] c весом система алгебраических многочленов : , (3) где - символ Кронекера.

При этом все нули многочлена P_n(x) при действительны и расположены на [a,b].

Как и при выводе интерполяционных формул, обозначим - полином n-ой степени, нули которого совпадают с узлами интерполяции. Рассмотрим функцию . Так как - алгебраический многочлен степени , то по условию теоремы формула (2) - точна, т.е. . Но т.к. то из (2)

ортогональна системе лишь коэффициентом при старшей степени отличается от многочлена - являются нулями полинома P_n(x).

Достаточность. Пусть - нули полинома P_n(x), и - полином степени . Требуется доказать, что для . Достаточно рассмотреть случай (если формула точна для многочлена степени , то она автоматически точна и для многочлена любой меньшей степени). Пусть . Представим этот многочлен в виде: , (4) где - многочлен -ой степени (частное от деления на ), , - многочлен р-ой степени (остаток от деления). Т.к. - нули полинома , то из (4) следует, что , т.е. является интерполяционным многочленом для : , (5) где - фундаментальный многочлен Лагранжа - степени. Учитывая (4) и (5), распишем интеграл:

(6) Формула (6) - квадратурная формула интерполяционного типа, причем для и, значит, и для любого многочлена степени, меньшей или равной . Единственность квадратурной формулы (2) следует из единственности выражений для нулей ортогонального полинома P_n(x).

20.

(6) Формула (6) - квадратурная формула интерполяционного типа, причем для и, значит, и для любого многочлена степени, меньшей или равной .

Определение 2. Квадратурная формула (6) наивысшей алгебраической степени точности носит название формулы Гаусса-Кристоффеля, а весовые коэффициенты - коэффициенты Кристоффеля.

Теорема 2. Весовые коэффициенты Кристоффеля удовлетворяют следующим условиям:

1) , 2) 3) . (7) По доказанному в теореме (в-19), формула (6) точна для многочленов порядка , в частности, для - свойство (2). Возьмем в качестве полином степени : , где - произвольный номер, а - фундаментальный многочлен Лагранжа, построенный по нулям многочлена . Учитывая свойства многочленов , получим из (6): .

Из последнего равенства следует, в частности, что (свойство 1)). Кроме того заметим, что , т.к. эти два полинома имеют одну и ту же степень, коэффициент при старшей степени равен 1, и имеют одни и те же нули на отрезке формула (7), т.е. свойство 3) доказано.

Замечание 1. Для остаточного члена квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля справедливо представление:

(8) где , - нули полинома , (a,b). Без доказательства.

Замечание 2. Классические ортогональные многочлены обычно строятся для канонических промежутков: с соответствующими весами . Если - конечный промежуток, то его с помощью линейного преобразования . приводим к отрезку ( ). При этом:

. Приведем основную сводку квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля для основных канонических промежутков.

1. , - нули полиномов Лежандра Рекуррентные соотношения:

; или , , .

2. , , - нули полинома Чебышева Рекуррентные соотношения:

,

,

3. ,

- нули полинома Лагерра .

Рекуррентные соотношения:

, ,

4. , ; - нули полинома Эрмита . Рекуррентные соотношения:

, .