- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
1. Структура погрешности в численном анализе.
Основные источники погрешностей:
Погрешности математической модели.Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.
Погрешности исходных данных.Данные могут оказаться неточными.
Погрешности метода решения.исленные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.
Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.
В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.
Рассмотрим подробнее пункт 4.
Пусть - приближенное представление числа X, т.е. ,
где - погрешность.
Определение 1.Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .Максимально возможное значение , т.е. число , удовлетворяющее неравенству , называется максимальной, или предельной, абсолютной погрешностью (ошибкой).
Определение 2.Величина, равная , называется относительной ошибкой представления числа X числом .Если , то число называется максимальной предельной относительной ошибкой.
2.3.Округление.
Обычно при вычислении с плавающей запятой число X представляется в нормализованном виде. ,где f - мантисса числа X, ,
а - основание системы счисления (а=2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, .
Кроме того, , - цифра в k-ом разряде дробного числа, .
t – порядок числа - число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).
Определение 3.Пусть число X записано в позиционной системе счисления. Значащими называются все цифры, начиная от первой слева не равной 0.Если число значащих цифр в представлении X превосходит t, то происходит округление.Ошибки округления распространяются дальше при выполнении арифметических операций.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1.Абсолютная погрешность суммы.
Пусть , . Тогда
, где .
Т.к. , то , т.е. предельные абсолютные ошибки складываются.
Пример 2.То же самое для разности. Предельные максимальные абсолютные погрешности аналогично складываются.
Пример 3.Относительные погрешности произведения.
, где ,
, где
.
Считаем, что последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, и им пренебрегаем.
, ,
тогда получаем , т.е. .
При умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.
Пример 4.Деление.
При делении относительные максимальные ошибки также складываются.
4. Понятие близости в метрическом пространстве.
Определение 1.Множество X элементов произвольной природы (не обязательно числовое множество) называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число , (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:А1. тогда и только тогда, когда x=y.А2. .
А3. – неравенство треугольника.
Определение 2.Говорят, что последовательность элементов метрического пространства X сходится к элементу , если .
Определение 3.Последовательность элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если .
Определение 4.Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства. Замечания.1Не любое метрическое пространство является полным.
Например, множество всех рациональных чисел с метрикой не является полным, т.к., скажем, последовательность - фундаментальная, но - иррациональное число.2 Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.
Определение 5.Множество X называется нормированным линейным пространством, если
оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.
любому элементу поставлено в соответствие число (норма x), удовлетворяющее аксиомам:А1. ,А2.
А3. – неравенство треугольника.
Замечание.Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, введя метрику по формуле . (1)
Если последовательность нормированного пространства X сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.
Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.
Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.