23 Метод Ньютона.

Пусть снова задано уравнение f(x)=0. Запишем его в виде , где и . Пусть х_к – некоторое приближение к корню х*. Для ускорения сходимости итераций желательно, чтобы был как можно меньше. Положим , то есть

Отсюда находим, что . Подставляя в исходное уравнение, получаем рекуррентную формулу: . Это и есть итерационная процедура Ньютона.

24.Численные методы линейной алгебры.

К численным методам линейной алгебры относятся: численные методы решения систем алгебраических уравнений (ЛАУ), обращение матриц, вычисление определителя матрицы, вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. Численные методы решения систем ЛАУ можно разбить на две группы: прямые методы (метод исключения Гаусса и его модификации) и так называемые итерационные методы. Метод Гаусса подробно рассматривается в курсе линейной алгебры, где, в частности показывается, что число арифметических действий, затрачиваемых на приведение системы к треугольному виду пропорционально n³. При вычислении определителя методом Гаусса затрачивается арифметических действий. Несмотря на очевидные преимущества прямых методов (конечность действий), их применение не всегда возможно. Если матрица A линейной системы плохо обусловлена, то вследствие неизбежных ошибок округления на ЭВМ, полученное приближенное решение системы может оказаться сколь угодно далеким от точного решения. Чтобы разобраться в этом вопросе, нам понадобится понятие нормы матрицы, спектра матрицы и обсудить некоторые дополнительные свойства матриц, связанные с этими понятиями.

25.

Нормы матриц. Спектральные свойства матриц. Пусть , Обозначим M_n - множество квадратных матриц . Пусть каждой матрице поставлено в соответствие число .Это число называется нормой матрицы A, если выполняются следующие аксиомы:

1. . 2. . 3. (неравенство треугольника).

4. (кольцевое свойство).

Определение.Норма называется мультипликативной, если выполняются все четыре аксиомы, и аддитивной, если выполняются первые три аксиомы.

Следствие. Если норма матрицы A – мультипликативна, то согласно свойству 4: . Пусть . Определим норму матрицы следующим образом:

. (1) Таким образом, определенная норма матрицы называется подчиненной векторной норме .

Определение. Если матричная норма удовлетворяет условию , (2) то такая норма называется согласованной с нормой вектора.

Следствие 1.Любая подчиненная норма является также и согласованной (обратное вообще говоря, неверно).

Действительно, из (1) в силу определения супремума: , Тот факт, что обратное неверно, подтверждается конкретными примерами матричных норм, с которыми мы познакомимся далее.

Следствие 2. Пусть A=E и норма матрицы – подчиненная векторной норме. Тогда, поскольку Ex=x, то и из (1) немедленно следует что Полученное условие можно считать необходимым условием подчиненной нормы. Определим некоторые наиболее употребительные на практике матричные нормы.

- евклидова норма (норма Фробениуса: norm(a, ‘fro’)- в MATLAB),

- “столбцовая” норма (norm(a, 1)),

- “строчная” норма (norm(a, inf)),

- “спектральная” норма (norm(a)=norm(a, 2)), где - так называемые сингулярные числа матрицы А.

Замечание. Все приведенные выше нормы матриц согласованы с соответствующей нормой вектора. Спектральная норма является к тому же и подчиненной евклидовой норме вектора. Кроме того, среди всех возможных норм, согласованных с евклидовой нормой вектора, спектральная норма принимает минимальное значение.

Определение 1. Число (вообще говоря, комплексное) называется собственным значением матрицы А, соответствующим собственному вектору x, если выполняется условие: . (3)

Определение 2. Множество всех собственных чисел матрицы А , записанных с учетом их кратности, называется спектром матрицы А и обозначается S(A).

Определение 3. Спектральным радиусом квадратной матрицы А называется максимальный из модулей ее собственных значений. Заметим, что система (3) эквивалентна следующей однородной системе уравнений: . (4)

Как известно из курса линейной алгебры, система (4) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда . (5) Уравнение (5)- алгебраическое уравнение n-ой степени относительно .

Все его корни – собственные числа матрицы А. Имеет место следующая

Теорема 1. Для любой квадратной матрицы и любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство:

Пусть - произвольное собственное значение матрицы A, и - соответствующий собственный вектор . Оценим по норме Определение 4. Сингулярным числом матрицы А называется собственное значение матрицы .

Определение 5. Матрица А называется положительно (неотрицательно) определенной (пишут: или ), если соответствующая квадратичная форма .

Простейшие следствия из определений.

Следствие 1. Критерий Сильвестра: все ведущие угловые миноры матрицы А положительны.

Следствие 2. , причем . следует из критерия Сильвестра

Следствие 3. все собственные значения . Пусть - собственное значение, соответствующее собственному вектору x.

По условию результат.

Следствие 4. Пусть А – вещественная матрица матрица Имеем: {по свойству скалярного произведения}

Следствие 5. Сингулярные числа вещественной матрицы А – неотрицательны Следует из С3 и С4.

Следствие 6. Пусть А – вещественная матрица .

Имеем:

Следствие 7. Если А – невырожденная матрица собственные значения матриц А и A^-1 взаимообратны.

Пусть результат.

Обусловленность матриц и систем уравнений. Пусть дана система ЛАУ с невырожденной матрицей А : Ax=b, (6) и пусть вектор правой части b вычисляется с ошибкой . Заменим правую часть “возмущенным” значением , тогда решение приобретет ошибку и система примет вид:

. (7) Оценим относительную ошибку решения в зависимости от относительной

величины возмущения правой части . Из (6) и (7) следует: или

{согласованность матриц} (8) С другой стороны, из (6) следует подставим в (8) .

(9)

Определение 6. Число называется числом обусловленности матрицы А. Таким образом, из (9) следует, что максимальная относительная ошибка решения пропорциональна числу обусловленности матрицы А: .

Если (система уравнений плохо обусловлена), то небольшие погрешности вычисления правой части (небольшие “возмущения”) могут приводить к весьма большим отклонениям от точного решения.

Заметим, что это явление не связано с явлением неустойчивости (т.е. накоплением ошибок при вычислениях), а является следствием специфического свойства матрицы А и наблюдается даже в том случае, когда все вычисления делаются абсолютно точно, а возмущение правой части вызвано неточностями начальных данных при формировании системы. На семинаре и лабораторной работе будут рассмотрены примеры плохо обусловленных систем.

26

Итерационные методы решения систем ЛАУ.Рассмотрим вначале систему ЛАУ вида x=Tx+d, , T- матрица (10) Назовем эту систему системой “второго рода”, в отличии от вида системы (1) – системы “первого рода”. Систему второго рода (10) естественно пытаться решать итерационным методом

, k=0,1,….. (11) В этом методе используются лишь операции сложения и умножения, и не используется операция деления – наиболее опасная для накопления ошибок. Очевидно, что оператор Т - линейный и отображает Rⁿ в себя. Тогда согласно У2 из лекции 10, если для какой-либо из матричных норм выполняются условия теоремы 1 существует единственная неподвижная точка x^* оператора Т, удовлетворяющая системе x*=Tx*+d, (12) причем процедура (11) сходится к точке x^* со скоростью геометрической прогрессии. Действительно, из (11) и (12) x^k+1-x^*=T(x^k-x^*)={продолжая рекурсию}=…=T^k(x⁰-x^*) Оценивая по норме, получаем: {согласованность+мультипликативность матричной нормы} при результат: сходимость с линейной скоростью.

27