35. Преобразования Лапласа и его св-ва.

Оригинал – комплекснозначная функция f(t) действительного переменного t удовлетворяющего следующим условиям:

1)f(t)=0 при t<0

2)f(t) интегр-емая функция на любом конечном интервале оси Ot

3)с возрастанием t, модуль функции растет не быстрее некоторой показательной функции,

т.е. m>0 , S ̥≥0 что │f(t)│≤m*

s ̥- показатель роста f(t)

ФункциюF(p) наз-ют изображением функции f(t) по Лапласу если выполняется равенство:

F(p)=

Св-ва.

1)Линейность. Для любых комплексных постоянных α и β αf(t)+βg(t)=αF(p)+βG(p), т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

2)Подобие. Для любого постоянного α>0 f(αt)= , т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число α приводит к делению изображения аргумента на это число.

3)Смещение. Для комплексного числа α , т.е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной p.

4)Запаздывание. Для любого τ>0 имеем f(t-τ)= , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину τ приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

5)Дифференцирование оригинала. Если функции f´(t),f´´(t),…, являются оригиналами и f(t),f´(t),…, (t) непрерывны, то

f´=pF(p)-f(0),

f´´(t)= F(p) -pf(0) - f´(0),

f´´´(t)= - f(0) – pf´(0) - f´´(0),

……………………………………………………………

(t)= F(p) - f(0) - … - (0).

6)Дифференцирование изображения. Дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на -t , т.е. F´(p)=-tf(t).

7)Интегрирование оригинала. , т.е. интегрирование оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на p.

8)Интегрирование изображения. , т.е. интегрированию изображения от pдо соответствуетделение его оригинала на t.

9)Умножение изображений.

F(p)*G(p)= g(t-τ) dτ

10) Умножение оригиналов.

f(t)*g(t)= .

36. Формулы обращения. Теоремы разложения.

Теоремы разложения.

1)Если функция F(p) в окрестности точки p= может быть представлена в виде ряда Лоренца

То функция f(t)= (t>0) является оригиналом, имеющим изображение F(p),

F(p)=

2)Если F(p)= – правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет лишь простые корни (нули) , ,…, , то функция f(t)= является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Формулы обращения.

3)Формула Меллина. Не только f(x) определяет F(p), но и наоборот. Это соответствие задается формулой обращения:

f(x)=

4)Формула Римана-Меллина. Изображение функции может быть найдено по формуле:

f(t)=

37.Применение преобразование Лапласа к решению дифференциальных уравнений и систем

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом:

(1)

И пусть ищется его решение, удовлетворяющее начальным условиям :

(2)

Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа: -Преобразование Лапласа функции У. Интегрируем по частям, мы найдём преобразование Лапласа производной У`:

Применяя эту формулу, найдём:

Пусть, наконец,

В итоге преобразование Лапласа переводит дифф-ное уравнение (1) с учётом условий (2) в алгебраическое уравнение:

Где В-преобразование Лапласа функции b, Q-многочлен от рстепени n-1, зависящий от коэффициентов уравнения и от начальных данных. Наконец:

Характеристический многочлен уравнения

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f(t) действительного переменного t , удовлетворяющая следующим условиям

1) , если t<0;

2) функция f(t) интегрируема на любом конечном интервале оси ;

3) с возрастанием t модуль функции f(t) растет не быстрее некоторой показательной функции, т. е. существуют числа M>0 и такие, что для всех t имеем

(1)

Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного , определяемая равенством

(2)

при . Условие 3 обеспечивает существование интеграла (2).

Преобразование (2), ставящее в соответствие оригиналу f(t) его изображениеF(t) , называется преобразованием Лапласа. При этом пишут .

38.Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:

, (1)

где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,..., хп (n ≥ 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно λ) уравнения

= 0, (2)

и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу. Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,..., хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,..., хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).

Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.