Вопрос 19. Предел функции на бесконечности (по Гейне и по Коши)

П редел функции при по Гейне. Число b называется пределом функции y=f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , соответствующая ей последовательность значений функции f( ) сходится к числу b. Предел функции при по Коши. Число b называется пределом функции y=f(x) при , если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число  такое что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию |x|>, справедливо неравенство |f(x)-b|<. Предел функции при по Гейне. Число b называется пределом функции y=f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , все элементы которой положительны, соответствующая последовательность значений функции f( ) сходится к числу b.

П редел функции при по Гейне. Число b называется пределом функции y=f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , все элементы которой отрицательны, соответствующая последовательность значений функции f( ) сходится к числу b. Предел функции при по Коши. Число b называется пределом функции y=f(x) при , если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число  такое, что для всех значений аргумента X, удовлетворяющих условию x> Справедливо неравенство |f(x)-b|<. Предел функции при по Коши. Число b называется пределом функции y=f(x) при , если для любого отрицательного числа  найдется отвечающее ему положительное число  такое, что для всех значений аргумента X, удовлетворяющих условию x<- Справедливо нерав. |f(x)-b|<

В ОПРОС 20 Теоремы о пределах функции Теоремы Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном и том же множестве Х и имеют в точке а пределы, соответственно равные b и с. Тогда функции f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) имеют в точке а пределы, соответственно равные b+c, b-c, b*c, b\c (c. Доказательство: Пусть произвольная, сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. В силу определения предела функции по Гейне соответствующие последовательности значений функции сходятся к пределам b и c соответственно, но тогда по теоремам последовательности {f( ) +g( )},{f( ) -g( )}, {f( )*g( )},{f( ) /g( )} сходятся к пределам b+c, b-c, b*c, b\c (c0) соответственно. А это в силу произвольности последовательности значения аргумента, сходящейся к а и в силу определения функции по Гейне означает, что функция f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) имеют в точке а пределы, соответственно равные b+c, b-c, b*c, b\c (c. Теорема о трех функциях Пусть функции f(x), g(x), h(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а, и функции f(x) и h(x) имеют в точке а предел равный b, т.е. . Пусть кроме того выполняется неравенство f(x) g(x) h(x) для всех хХ. Тогда . . Доказательство: Пусть { } произвольная, сходящаяся к а последовательностей значений аргумента функций f(x) и h(x), все элементы которой отличны от а. В силу определения предела функции по Гейне соответствующие последовательности значений функций {f( )} и {h( )} имеют предел, равный b. Используя неравенства, данные в условии теоремы, можно записать для всех n N. Но тогда по теореме последовательность {g( )} сходятся к b. В силу произвольности последовательности значений аргумента { }, сходящейся к а, и в силу определения предела функции по Гейне это означает , что