- •Вопрос 5 Числовые последовательности. Действия над ними.
- •Вопрос 6 Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Вопрос 7 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •Вопрос 8. Основные свойства бесконечно малых последовательностей:
- •Вопрос 9 Понятие сходящейся последовательности.
- •Вопрос 10. Теорема о единственности предела сходящ. Последоват.
- •Вопрос 15. Число е
- •Вопрос 16. Теорема о вложенных промежутках
- •Вопрос 17 Понятие функции и способы ее задания.
- •Вопрос 19. Предел функции на бесконечности (по Гейне и по Коши)
- •Вопрос 21. Первый замечательный предел
- •Вопрос 22 Второй замечательный предел
- •Вопрос 23 Бесконечно малые функции и действия над ними.
- •Вопрос 24 Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •Вопрос 63 Достаточное условие точки перегиба.
Билет №1 Множества. Операции над множествами.
DEF Множество- совокупность объектов любой природы, обладающих определенным свойством.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
DEF. Пересечением двух множеств А и В называется множество С; состоящее из элементов, принадлежащих как множеству А так и множеству В, т.е. из элементов общих для множеств А и В. Пересечение С двух множеств А и В обозначается С =- А В. Множество С составляет общую часть множества А и В. Аналогично определяется пересечение произвольного конечного числа множеств А
DEF. Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Объединение С двух множеств А и В обозначается С •= А U В: Аналогично определяется объединение произвольного конечного -числа множеств
DEF Разностью С двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А не принадлежащих В. Разность С двух множеств А и В обозначается С = А\.В .
DEF Если А подмножество В, то разноси В\А называется дополнением А до В и обозначается а’B
DEF. Дополнением множества А называется множество, состоящее из элементов универсального множества не принадлежащих множеству А.
Билет №2 Грани числовых множеств. Свойства точных граней
DEF Говорят, что множество Х ограничено сверху, если существует число с такое, что для любого х Х выполняется неравенство хс., Число С называется верхней гранью множества X. Аналогично для нижней грани (xc) .DEF. Множество, ограниченное cверху или- снизу называется ограниченным. DEF. Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется точной верхней гранью множества Х и обозначается sup X.
DEF. Наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества Х называется точной нижней граньто этого, множества и обозначается inf Х .
Свойство точной верхней грани. Как бы ни было мало число > 0, существует х Х такое, что X>sup X-.
Действительно, если бы такое число Х не существовало, то тогда Sup Х- было бы точной верхней гранью множества X, а число Sup Х не являлось бы точной верхней гранью множества Х, что противоречит условию. Таким образом, число SUp- является наименьшим из чисел, ограничивающих множество Х сверху, и не может быть уменьшено. Следовательно, точная верхняя грань единственная, Аналогично для нижней грани.
Вопрос 3 Теорема о существовании точной верхней и точной нижней грани множества. Теорема. Любое непустое, ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань. Доказательство. Пусть Х непустое множество, ограниченное сверху. Тогда Y-множество чисел, ограничивающих множество Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого х Х и у Y любого выполняется неравенство ху. В силу свойства непрерывности вещественных чисел существует такое с, что для любых Х и у выполняются неравенства хс у - Из первого неравенства следует, что число с ограничивает множество Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго неравенства следует, что число С является наименьшим из таких чисел, т.е. является точной верхней гранью. Теорема доказана. Аналогичная теорема для нижней грани.
Вопрос 5 Числовые последовательности. Действия над ними.
D EF. Если каждому числу n N поставлено в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число Х, то множеств вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
П роизведением последовательности n на число m считается последовательность mn, суммой + ,…, + , Разностью
- , …, - , Произведением * ,…, * , Частным, если
Вопрос 6 Ограниченные и неограниченные последовательности.
D EF. Последовательность {х„} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству M (хm), то есть
DEF. Последовательность {у„} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа m и М такие, что любой элемент Х„ этой последовательности удовлетворяет неравенству .
DEF Последовательность х„ называется неограниченной, если для любого положительного числа А (каким бы большим мы его ни взяли), найдётся хотя бы один элемент последовательности х„, удовлетворяющий неравенству
Вопрос 7 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
DEF. Последовательность называется бесконечно большой если для любого положительного числа А (сколь бы большим мы его ни взяли) существует номер N такой, что для всех n>N выполняется неравенство то есть
D EF. Последовательность {„} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа .(сколь бы малым Мы ни взяли это число) существует номер N=N() такой, что при всех п > N выполняется неравенство | |< , Теорема о связи Бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей. Если { } бесконечно большая последовательность все ее члены отличны от 0, то последовательность {1\ } бесконечно малая и обратно, если{„} последовательность бесконечно малая и все ее элементы отличны от 0, то последовательность {1|„} бесконечно большая.
Вопрос 8. Основные свойства бесконечно малых последовательностей:
С умма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Д оказательство. Пусть { } и { } -бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность { } бесконечно малая. Пусть - произвольное положительное число - номер, начиная с которого выполняется неравенство | | < /2, а номер, начиная с которого выполняется неравенство | |< /2. Такие номера и существуют по определению бесконечно малой последовательности. Возьмем N = mах{ , , тогда при n>N будут одновременно выполняться оба неравенства | | < /2 и | |< /2. Следов., при , откуда следует что последовательность { } бесконечно малая.
Т еорема2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность, Доказательство. Пусть { } и { - бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность { * } бесконечно малая. Так как последовательность { }бесконечно малая, то для >0 существует номер , такой что | |< для всех n> . А так как { } бесконечно малая последовательность, то для =1 существует номер , такой что | |< - при всех n> . Возьмем N = mах{ , , тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно. Следовательно при всех n>N . Это означает что последовательность { * } б.м.
Т еорема 3 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть последовательность бесконечно малая.
Д оказательство. Пусть { } ограниченная последовательность, а { } –бесконечно малая последовательность. Покажем, что последовательность{ • } - бесконечно малая, так как последовательность {х„} ограничена, то существует число А > 0, такое, что для любого -элемента х„ выполняется неравенство |х„| <А. Возьмём > 0, Так как { } бесконечно малая последовательность, то для положительного числа — /А .существует номер N, такой, что | l < /А.. Следовательно, при всех n>N имеем- А это означает, что последовательность { • }б м
Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может не быть бесконечно малой последовательностью и может не иметь смысла.