Вопрос 9 Понятие сходящейся последовательности.

DEF Число а называется пределом последовательности {х„}, если для любого положительного Числа  существует номер N=N(), такой что при всех n>N выполняется неравенство Последовательность у которой существует предел называется сходящейся. Если последовательность сходится и имеет своим пределом число а, то это записывается так . Последовательность не являющаяся сходящейся является расходящейся.

З амечание 1, Пусть последовательность { } имеет своим пределом число а, тогда является бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого > 0 существует N, такой что для всех: n>N выполняется, неравенство . Следовательно, любой член последовательности имеющий пределом число а можно представить в виде = а + , где - элемент бесконечно малой последовательность. Справедливо и обратное.

D EF. Число а называется пределом последовательности { }, если для любой -окрестности точки а существует номер N, такой что все элементы

с номерами n>N находятся в этой -окрестности.

Вопрос 10. Теорема о единственности предела сходящ. Последоват.

С ходящаяся последовательность, имеет только один предел. Доказательство. Предположим противное, т.е. что числа а и b являются пределами; сходящейся последовательности {х} и а ≠ b, тогда по замечанию получим =а+ и = b+ , где ( и ) - элементы бесконечно м. п. { } и { }. Из последних двух равенств получим - = b-a Так как все эле­менты б. м. последовательности - { - } равны одному и тому же числу b-a, то по лемме b—а=0, т.е. b=a, Теорема доказана.

В опрос 11. Сумма, разность, умнож и частное сход. последов.

Сумма (paзность) двух последовательностей { } и { } есть сходящаяся посл., предел которой равен сумме (разности) пределов п. { } и { }.

Д оказательство: Пусть a и b пределы последовательнсотей { } и { } соответственно. Из определения предела =а+ , =b+ , где { }, { }- б.м.п. Следовательно, . П. { } бесконечно малая (по свойству б.м.п.). Таким образом, последовательность также бесконечно малая, а значит последовательность сходится и имеет своим пределом число а ± b. Теорема Доказана.

Т ЕОРЕМА Произведение сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей { } и { }. Доказательство: Пусть а и b — соответственно пределы последовательностей { } и { }. Тогда по определению предела =а+ , =b+ , где { }, { }- б.м.п. Следовательно, Последовательность - б.м. Следовательно, также б.м.п. и поэтому [х„у„} сходится, и имеет своим пределом число аb. Теорема доказана.

Т еорема. Частное двух сходящихся последовательностей

{ } и { } , при условии, что предел {у„} отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей { } и{ }.

В ОПРОС 12 Предельный переход к неравенствам

Е сли элементы сходящейся последовательности   начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству b ( b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству ab (ab). Доказательство: Предположим противное, что а<b Возьмем положительное число =b-a, для него существует такой номер N, что при всех n>N выполняется неравенство | -а|<=b-a, что в свою очередь равносильно двум неравенствам –(b-a)< -а<b-a. Отсюда следует что <b, что противоречит условию теоремы. Т.е. неравенство а<b невозможно.

В опрос 13. Теорема о трех последовательностях. Если { }, { } и { } – сходящиеся последовательности, причем ≤ ≤ для всех n, а последовательности { } и { имеют одинаковые предел а, тогда последовательность { } имеет тот же предел а.

Д оказательство. Пусть - произвольное положительное число. По этому  можно указать такой номер N1 для последовательности { }, что при n>N1 будет справедливо неравенство | -а|<, или а- < <а+.(1) По тому же числу  для последовательности { } найдется такой номер N2, что | -а|< при всех n>N2, или а- < <а+. (2). Возьмем N номер N=max(N1, N2), тогда при n>N будут одновременно выполняться оба этих неравенства. Используя левое неравенство (1) и правое неравенство (2) оп условию теоремы получаем а-< ≤ ≤ <а+, при всех n>N выполняются неравенства а- < <a+, или | -а|<. Это неравенство означает, что число а- предел последовательности { }, что и требовалось доказать.

В опрос 14. Монотонные последовательности.

D EF Последовательность { } называется возрастающей, если для всех n: неубывающей если для всех N; убывающей, если для всех n; невозрастающей если для всех n. Такие последовательности называются монотонными. Теорема Монотонная ограниченная последовательность сходится.