§ 3. Агульная схема рашэння эадач на пабудаванне

Працэс рашэння задачы на пабудаванне дзеліцца на чатыры этапы: аналіз, пабудаванне, доказ, даследаванне. У кожнай частцы ёсць вызначаная мэта, якая павінна быць дасягнута.

₂

I. Аналіз - гэта пошук спосаба рашэння задачы. Для правядзення аналізу лічаць задачу рэшанай, ад рукі выконваюць рысунак шукаемай фігуры і дадзеных фігур у тых жа адносінах, што ўказаны ва ўмове задачы. Пасля гэтага устанаўліваюць неабходныя залежнасці паміж шукаемай фігурай і дадзенымі.

2. Пабудаванні Пералічваюцца прасцейшыя і асноўныя пабудаванні, неабходныя для рашэння эадачы, і праводзіцца пабудаванне шукаемай фігуры цыркулем і лінейкай.

3. Доказ Даказваецца, што пабудаваная фігура сапраўды задавальняе усім

патрабаванням умовы задачы і пагэтаму з’яўляецца шукаемай.

4. Даследаванне Трэба высветліць два пытанні:

1) ці пры ўсякім выбары дадзеных задача мае рашэнне, а калі не пры ўсякім, то калі

задача мае рашэнне, а у якім выпадку не мае,

2) колькі розных рашэнняў мае задача пры кожным магчымым выбары дадзеных. Для

гэтага праводзяць даследаванне па самаму ходу пабудаванняў.

Паўстае пытанне: якія рашэнні лічыць рознымі. Гэта залежыць ад тыпу задач. Пры

даследаванні таксама адзначаюцца прыватныя выпадкі, у якіх прымяняецца іншы спосаб пабудаванняў, адметны ад агульнага.

§ 4. Некаторыя метады геаметрычных пабудаванняў

1. Метад геаметрычных месц

Геаметрычным месцам пунктаў называецца фігура, якая складаецца з усіх пунктаў плоскасці, што валодаюць пэўнай уласцівасцю. Няхай пры рашэнні задачы на пабудаванне

_{трэба знайсці пункт Х , які задавальняе дзвюм умовам. Геаметрычнае месца пунктаў, якія}

задавальняюць першай умове, ёсць некаторая фігура

F₁ , а геаметрычнае месца пунктаў,

якія задавальняюць другой умове, ёсць некаторая фігура

F₂ . Тады шукаемы пункт, X

належыць фігурам

F₁ і F₂

, г.зн. з’яўляецца іх пунктам перасячэння.

Задача I Пабудуйце  АВС , калі дадзены вяршыні В і С і пункты К, Н перасячэння прамой ВС з бісектрысай і вышынёй, праведзенымі з вяршыні А.

Аналіз Дапусцім, што шукаемы трохвугольнік АВС пабудаваны. Дастаткова знайсці трэцюю вяршыню А. Яна ляжыць на перпендыкуляры да стараны ВС у пункце Н. Бісектрыса АК дзеліць старану ВС на часткі, прапарцыянальныя прылеглым старанам: ВК : КС = ВА : АС . Вяршыня А належыць геаметрычнаму месцу пунктаў, адлегласці кожнага з якіх да вяршынь В і С, адносяцца так, як ВК : КС. Зазначым, што пункты К і Н розныя, пагэтаму

ВК : КС  1 . Метадам каардынат можна даказаць, што гэта геаметрычнае месца пунктаў ёсць

акружнасць з цэнтрам на прамой ВС і праходзячая праз два пункты К і N , адзін з якіх К

дзеліць адрэзак ВС унутраным спосабам, а другі N знешнім спосабам у адносіне ВК : КС.

Гэта акружнасць называецца акружнасцю Апалонія. Значыць вяршыня А ёсць пункт перасячэння акружнасці Апалонія з перпендыкулярам да стараны ВС у пункце Н.

3

_{ВС у пункце Н.}

Пабудаванне

1. Праз пункт В праводзім прамень m.

2. КD || CE, D m, E m

3. DF = DE

4. CF

5. DN || FC, N  BC

6. Будуем акружнасць Апалонія, для якой адрэзак

КN з’яўляецца дыяметрам.

7. Знаходзім вяршыню А, як пункт перасячэння акружнасці Апалонія з перпендыкулярам да прамой

8. Будуем шукаемы трохвугольік АВС.

Доказ ВК : КС = BD : DE, BN : NC =BD : DF = BD : DE = BK : KC. Адсюль вынікае, што пункт N дзеліць адрэзак BC знешнім спосабам у той жа адносіне, што і пункт К унутраным спосабам. Значыць, KN - дыяметр акружнасці Апалонiя.

AB : АС = BK : KC, АК - бісектрыса трохвугольніка ABC, па пабудаванню АН -

вышыня ABС. Значыць трохвугольнік АBС ёсць шукаемы.

Дасдедаванне Вяршыня А з’яўляецца пунктам перасячэння акружнасці Апалонія i праменя, якія перасякаюцца. Задача мае адзінае рашэнне.

2. Метад геаметрычных пераўтварэнняў

Ён заключаецца ў тым, што пры аналізе задачы, апрача дадзеных фігур і шукаемай фігуры, выкарыстоўваюць дапаможную фігуру, атрыманую з гэтых фігур або іх частак пры дапамозе падыходзячага пераўтварэння і якую не цяжка пабудаваць па дадэеных задачы. Прыватнымі спосабамі гэтага метада з’яўляюцца:

а) метад паралельнага пераносу

Гэты метад выгадна прымяняць для набліжэння занадта аддалёных дадзеных умовы задачы.

Задача 2 У якім месцы трэба пабудаваць мост на рацэ, каб шлях з вёскі А у вёску В,

падзеленыя ракой, быў найкарацейшым. Берагі ракі лічацца паралельнымі прамымі, а

мост перпендыкулярны ім.

Аналіз Няхай ХУ - гэта шукаемы мост. Яго даўжыня не залежыць ад месца будовы таму што па ўмове задачы берагі ракі лічацца паралельнымі прамымі. Шлях з пункта А да пункта В будзе найкарацейшым, калі сума адрэзкаў АХ+УВ будзе найменьшай. Гэта магчыма, калі яны ляжаць на адной прамой. Прыменім паралельны перанос маста так, каб яго пачатак Х быў у пункце А. Тады АС = ХУ, АХ = СУ і АХ

+УВ = СУ + УВ і шлях найкарацейшы.

Пабудаванне

1. MN  a, для любого М a, N  b

2. АС || MN, АС = МN

3. CB

4. {Y} = b  CB

5. УX  b, X a.

Доказ З аналізу і пабудаванняў вынікае, што адрэзак ХУ задавальняе ўсім патрабаванням умовы задачы і з’яўляецца шукаемым. Задача мае адзінае рашэнне.

Рашыце гэту задачу, калі вёскі А і В падзеленыя дзвюмя рэкамі.

б) метад сіметрыі (адносна пункта і адносна прамой).

₄ Задача3 Пабудуйце квадрат, калі дадзены яго цэнтр О і два пункты M i N , якія ляжаць на прамых, што змяшчаюць дзве паралельныя стараны квадрата.

Аналіз Зазначым, што цэнтр квадрата з’яўляецца цэнтрам яго сіметрыі. Пры сіметрыі адносна цэнтра 0 прамая АВ

пераходзіць у сіметрычную ёй прамую CD. Пункт

M ₁ ,

_{сіметрычны пункту M, належыць прамой СD. Значыць}

вяршыні квадрата С i D ляжаць на прамoй

M₁ N . Аналагічна i

вяршыні А i В ляжаць на прамой сіметрычны пункту N адносна цэнтра 0 .

_{Пабудаванне}

MN₁ , где

N₁ - гэта пункт,

1. ^OM

^{ OM , M} ₁ ^{ (OM )}

2. ОN₁ 

3. ^(MN ₁ ⁾

4. ^{( NM} ₁ ⁾

ОN , N  (ОN )

5. OF  NM ₁

, E

NM ₁

^{6. OF  MN}₁ ^{, F MN}₁

7. FB = FA = OF

8. EC = ED = OE

Доказ 3 пабудаванняў вынікае, што OF = OE, AB || CD, AB = CD, BC || EF, BC = AB, AB  BC. Значыць, ABCD - квадрат.

Даследаванне Задача мае адно рашэнне, калі дадзеныя пункты M i N не сіметрычныя адносна цэнтра 0 i - бесканечнае мноства рашэнняў, калі M i N

_{сіметрычныя адносна пункта 0.}

в) метад павароту

Задача 4 Пабудуйце роўнастаронні трохвугольнік так, каб адна вяршыня ляжала на дадзенай акружнасці, другая на дадзенай прамой l , а трэцяй вяршыняй быў дадзены пуннт А .

Аналіз

Пры павароце каля пункта А на вугал 60 ⁰ у бок дадзенай акружнасці пункт С пераходзіць у пункт В. Прамая l пераходзіць у прамую l’ , праходзячую праз пункт В . Адсюль вынікае, што вяршыня В з’яўляецца пунктам перасячэння дадзенай акружнасці і прамой l’ . Нарэшце, знайдзем і вяршыню С.

Пабудаванне

1. Будуем прамую l’ , у якую пераходзіць, прамая l пры павароце каля пункта A на вугал 60°.

2. Знаходзім { B₁ , B₂ } пункты перасячэння прамой l’ з дадзенай акружнасцю.

_{3. Будуем шукаемыя трохвугольнікі}

⁵

АВ₁С₁ i

^AB₂^C₂ .

_{Доказ Пры павароце ў процілеглым напрамку на вугал}

60° пункт

В₁ пераходзіць у

^С₁ ^{, а пункт}

^В₂ ^{у пункт}

^C ₂ ^.

АВ₁С₁ i

AB₂C₂

раўнабедраныя з вуглом пры вяршыні60°. Адсюль вынікае, што яны роўнастароннія.

Даследаванне Задача можа мець два, адно, ці ўвогуле не мець рашэнняў адпаведна таму, колькі існуе агульных пунктаў у прамой l’ дадзенай акружнасці.

г) метад падобнасці

Часам бывае не цяжка пабудаваць фігуру, падобную шукаемай або яе частцы. Гэта

зручна тады, калі адна частка ўмовы задачы вызначае форму фігуры, а другая - яе

размеры.

Задача 5 Пабудуйце трохвугольнік па трох яго вышынях

_{Аналіз Выкарыстаем формулу плошчы трохвугольніка}

h_{a ,} h_{b ,} h_{c .}

_{1 1 1}

^S _ABC

 ah_a  bh_b  ch_{c .}

^{2 2 2}

_{Адсюль маем}

^a _ ^hb

_, ^b _ ^hc _,

_{a : b  hb}

_{: ha}

_ ^{hb  hc}

_{h  h}

_: ^{a c} _,

_{дзе m – гэта}

b

_{адвольны адрэзак.}

^h_a ^{c h}_b ^{m m}

^{b : c  h}_c ^{: h}_b =

h_c  h_a

_m

_: ^{ha  hb} _,

m

a : b

_{: c } ^{hb  hc}

m

_: ^{ha  hc}

m

_: ^{ha  hb} _,

m

Стораны шукаемага трохвугольніка прапарцыянальны адрэзкам

_{hb  hc}

_х 

^m

, у 

h_a  h_c

_m

, z 

^{ha  hb} _,

m

трохвугольнік са старанамі x, y, z падобны

шукаемаму.

Пабудаванне

1. Выбраць адвольны адрэзак m .

_{2. Пабудаваць чацвёртыя прапарныянальныя адрэзкі}

_{hb  hc}

_х 

^m

, у 

h_a  h_c

_m

, z 

h_a  h_b

_m

^, (гл. [7], §61, c.95).

3. Будуем трохвугольнік

_{z, падобны шукаемаму.}

А' В ' С '

па трох старацах x, y,

_{4. Будуем яго вышыню, напрыклад А'Н' .}

5. Ад пункта А' адкладваем адрэзак

A' H

^{ h}_a ^{, H  ( A' H ' ).}

6. Праз пункт Н праводзім прамую, паралельную В'С'.

7. Знаходзім пункты В і С перасячэння гэтай прамой са старанамі А'B' i А'C.'

^{ А’BC  A’B’C’, A’H= h}_a

Доказ Можна пераканацца, што дзве яго другія вышыні роўны

_{Пагэтаму  А’ВС шукаемы.}

^h_b і ^h_c .

_{Дасдедаванне Задача мае рашэнне, калі існуе трохвугольнік са старанамі х, y, z.}