Cлучайн величины

СВ - Велич прин знач с опред вер-ю

Дискр СВ – все возм знач можно перечисл(их число конечн или безконечн)

НСВ велич, кот мож прин люб знач из некот конечн или бескон промеж, число значений бесконечно.

Зак распред ДСВ – табл со всевозм знач и их вер.Σp=1 (аналитич-табл и графич - многоугол)

Форм Бернули- бином з-н распредел Pn(m)=Cn^mp^mq^n-m

Числ Хар-ки ДСВ

1) Мат ож: M(x)=Σpixi в средн из n попыток сколько раз произ Х – ср арифм знач Х Мат ож сущ, если ряд,сход абсол.Св-ва: M(C)=C, M(CX)=CM(x),M(XY)=M(X)M(Y), M(X+Y)=M(X)+M(Y)

2) Дисперс мат ож – D(x)=M[x-M(x)]²=M(x²) - (M(x))²

D(X)=Σ(xi-M)²pi = Σxi²pi – M² >=0

Св-ва: D(C)=0, D(CX)=C²D(x), D(X+Y)=D(X)+D(Y), D(X-Y)=D(X)+D(Y). D(X)=npq (появл соб A в n испыт)

3)Cр квадр отклонен – σ(X)=√D(x),

σ(X1+X2+…)=√ σ²(X1)+ σ²(X2)+..

F(X) – Распредел дсв

Пусть х – действ чис. Вер соб, сост в том, что при знач не меньше Х < x, обозначим через F(x):

F(a)=P(X<a), aЄR Также наз Интегральн

С в-ва для ДСВ и НСВ:

F(x)возраст нестрого, ступенч

F(-∞)=0, F(+∞)=1

Непрер слева для ДСВ

Разрыв в т, где ДСВ прин знач

Высота скачка=P(Xi)

НСВ – имеет непрер F(X).

1) P(x<a)=F(a), P(x<=a)=F(a)+P(x=a): ДСВ – P(x=a)=F(a),

НСВ – P(x=a)=0 => P(x<a)=P(x<=a)=F(a)

2)P(x>=a)=1-P(x<a)=1-F(a)(для всех СВ)

P(x>a) = 1- P(X<=a) = 1 - F(a)- P(x=a)

3)P(a<=X<b) = F(b) - F(a),

P(x<b)=P(X<a or a<=x<b)=F(b)= F(a) + P(a<=X<b)

4)P(a<=X<=b) = P(a<=X<b or x=b)= F(b)- F(a)+ P(x=b)

5)P(a<X<b)= P(a<=X<b)-P(x=a)=F(b)-F(a)-P(x=a)

6) P(a<X<=b)=F(b)-F(a)+P(x=b)-P(x=a)

НСВ

По ф распред трудно судить о хар распред св в небол окрестн т числ оси.

Плотн распр вер НСВ Х - функция f(x) = F'(X)

дифференциальной функцией.(не для ДСВ)

Смысл f(x) : показ как часто появл Х в некот окрестн т х при повторении опытов.

СВ- Х -непрер, если ее ф распред F(x) непрер на всей оси ОХ, а плотн распр f(x) сущ везде, за искл ( м б, конечного числа т.

Пр: f(t)={1/b-a, 0. F(t)=∫_-∞^tf(u)du=∫_-∞^t0du=0,

= ∫_-∞^af(u)du+∫_a^tf(u)du = 0+∫_a^tdt/b-a = t-a/b-a(t=a,b),

= ∫_-∞^af(u)du+∫_a^bf(u)du ∫_b^tf(u)du = 0+b-a/b-a+0=1(t=b,+∞)}

Св-ва f(t): F(t)=∫_-∞^tf(u)du

f(t)>=0, f(+-∞)=0,

∫_-∞^+∞f(u)du=F(+∞)=1 (S под граф f(t) всегда = 1)

I f x=НСВ: (Люб C из R): [P(X=C)=0]: В общ случ –P(X=C)=F(C+0)-F(C-0) – скачок в т. C

Пр: P(X=1)= F(1+0) – F(1-0)= ¾ - ½ = ¼

P(X<a)=F(a)=∫_-∞^af(t)dt , P(X<=a)=P(X<A)+P(X=a)=F(a)

P(X>=b)=1-P(X<b)=1-F(b)= ∫_-∞^+∞ -∫_-∞^b = ∫_b^∞f(t)dt

P(a<=X<=b) F(b)-F(a)=∫_a^bf(t)dt ( Геом это озн, что вер того, что НСВ прим знач из (a, b), равна площ кривол трапец, огранич осью ОХ, f(x) x=a и x=b).

Числ Хар ДСВ

f(t)=p(t) – плотн вер-ти.

M(x)= ∫_-∞^+∞ x p(x)dx (предпол, что интегр сход)

D(x)= ∫_-∞^+∞(x-M)² p(x)dx = ∫_-∞^+∞ x² p(x)dx - M² (мат ожид квадрата отклон)

Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Равномерн распред на отр

Опред выше в примере.

M(X)= ∫_a^b x 1/(b-a)dx = b+a /2

D(X)= ∫_a^b x² 1/(b-a)dx – (b+a /2)²= (b-a)²/12

σ(X)=√D(x)= b-a / 2√3

Пр: автоб ход точно по расп кажд 20 мин

Нормальн распредел законом Гаусса

Распред НСВ опис плотн вер-ти:

Св-ва норм крив: 1) фун опред на всей числ оси 2) Только положит знач 3) ОХ – гориз асимпт

4) Мах – 1/σ√2π 5) функц симметр относ х=a

1/σ√2π

При a=0, σ=1: ур = нормир кривая 1/√2π e^{-x^2/2}

M(X) = a , D(X)= σ²

M(X)= ∫_-∞^+∞x 1/ σ√2π e^((x-a)²/2σ²)dx={ t=x-a/σ -> x=tσ+a dx=σdt}= ∫_-∞^+∞( tσ+a) 1/ σ2π e^{-t^2/2}dt =∫_-∞^+∞ tσ/σ2π e^{-t^2/2} + a/ σ2π ∫_-∞^+∞ e^{-t^2/2} (ф Лапласа=1)=σ/√2π lim ∫_-R^Rte^{-t^2/2}dt +a= a

D(X)= ∫_-∞^+∞(x-a)²/ σ√2π e^((x-a)²/2σ²)dx = {t= t=x-a/σ }=

=∫_-∞^+∞(t²σ² / σ√2π e^{-t^2/2}dt = {u=t, du=dt, dv = t e^{-t^2/2}dt,

v=∫ t e^{-t^2/2}dt ==∫ e^{-t^2/2}dt ^{t^2/2} = -e^{-t^2/2}}= σ² / √2π(-te^{-t^2/2}|_∞^∞+

+∫_-∞^+∞ e^{-t^2/2}dt)= σ² / √2π((lim t/ e^{-t^2/2} - lim t/ e^{-t^2/2})+

+∫_-∞^+∞ e^{-t^2/2}dt)=0+σ²

Бином распред (Схем Бернули)-НСВ

n-испыт, А, СВ-Х=кол наст А из n испыт

Х: 0 ,1 ,2 , …, n

P: Pn(o), … ,Pn(n) -> ΣPn(m)=1

Pn(m)=Cn^mp^mq^n-m

M(x)= Σ_m=0ⁿ XmPn(m)=Σ₀ⁿ mPn(m)=0+ Σ_m=1ⁿ mC_n^m *p^mq^n-m = Σ₁ⁿm n!/m!(n-m)! * p^mq^n-m = Σ₁ⁿ n!/(m-1)!(n-m)! * p^mq^n-m =

pn Σ_m=1ⁿ (n-1)!/(m-1)!((n-1)-(m-1))! * p^m-1q(^n-1)-(m-1) =

=pn Σ_k=0^n-1 C_n-1 ^k p^kq ^(n-1)-k) -> M=pn Σ_k=0^n-1 p _(n-1)(k) = np

Сум всех вер в схем Берн с n=n-1

D(X)= Σ_m=0ⁿ Xm²Pn(m) – M²=Σ₀ⁿ m²C_n^m *p^mq^n-m –(np)²= 0+Σ₁ⁿm² n!/m!(n-m)! * p^mq^n-m - (np)²=

np [Σ₁ⁿ m(n-1)!p^m-1q^n-m /(m-1)!(n-m)! – np] =

np [Σ₁ⁿ (m-1)(n-1)!+(n-1)! p^m-1q^n-m /(m-1)!(n-m)! – np] =

np [0+Σ_m=2ⁿ (n-1)!p^m-1q^n-m /(m-2)!(n-m)! +

Σ_m=1ⁿ (n-1)!p^m-1q^n-m /(m-1)!(n-m)! – np] =

np [0+Σ_k=0^n-2 (n-1)!p^k+1q^n-2-k /k!(n-k-2)! +1– np] =

np [(n-1)*pΣ_k=0^n-2 (n-2)!p^kq^n-2-k /k!(n-k-2)! +1– np] =

=np[(n-1)p+1-np]=np(1-p)=npq

Распред ПУАССОНА

n=∞, P∞(m)=α^me^-α/ m!, α – фиксир, положит, произв

Х-кол наступл А,

M(X)= Σ_m=0^∞XmPm = Σ_m=0^∞m α^me^-α/ m! = 0+Σ_m=1^∞ m α^me^-α/ m!= α Σ₁^∞ α^m-1e^-α/ (m-1)! = α Σ_k=0^∞ α^ke^-α/ k! = α Σ_k=0^∞ Pk =α

D(X) = Σ_m=0^∞m² α^me^-α/ m! – α²= 0+Σ_m=1^∞ m^-1+1α^me^-α/ (m-1)!= Σ₁^∞ ((m-1)α^m-1e^-α/ (m-1)! + 1* α^m-1e^-α/ (m-1)! ) – α² =

0 + Σ_m=2^∞ α^me^-α/ (m-2)! + Σ_m=1^∞ α^me^-α/ (m-1)! – α² =

Σ_k=0^∞ α^k+2e^-α/ k! + Σ_k=0^∞ α^k+1e^-α/ k! – α² =

α² Σ_k=0^∞ Pk + α Σ_k=0^∞ Pk – α² =α