9.3. Момент инерции тела

Момент инерции тела — это мера инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений масс всех материальных точек тела на квадраты их расстояний от данной оси:

В деформирующейся системе тел, когда ее части отдаляются от оси вращения, момент инерции системы увеличивается. Инерционное со­противление увеличивается с отдалением частей тела от оси вращения пропорционально квадрату расстояния. Поскольку материальные точ­ки в теле расположены на разных расстояниях от оси вращения, для ряда задач удобно вводить понятие «радиус инерции».

Радиус инерции тела — это сравнительная мера инертности дан­ного тела относительно его разных осей. Он измеряется корнем квадратным из отношения момента инерции (относительно данной оси) к массе тела:

1. Масса, измеренная таким образом, называется инертной, измеренная путем взве­- шивания — тяжелой. Они количественно равны одна другой и отличаются только спо­- собами их определения.

2. Так как масса тела не само вещество, а его свойство, то, строго говоря, она не пе­- ремещается и не распределяется; перемешаются тела, обладающие массой; распределя-­ ются частицы (материальные точки) тела, обладающие массой.

Найдя опытным путем момент инерции тела, можно рассчитать радиус инерции (R_ин ), величина которого характеризует распределение материальных точек в теле относительно данной оси. Если мысленно расположить все материальные точки тела на одинаковых расстояниях от оси, получится полый цилиндр. Радиус такого цилиндра, момент инерции которого равен моменту инерции изучаемого тела, равен радиусу инерции. Он позволяет сравнивать различные распределения масс тела относительно разных осей вращения. Это удобно, когда рассматривают инертность одного тела относительно разных осей.

Знать о моменте инерции очень важно для понимания движения, хотя точное количественное определение этой величины в конкретных случаях нередко затруднено.

§ 10. Силовые характеристики

Известно, что движение тела может происходить как под действием приложенной к нему движущей силы, так и без движущей силы (по инерции), когда приложена только тормозящая сила. Движущие силы приложены не всегда; без тормозящих же сил движения не бывает

Изменение движений происходит под действием сил. В этом и заключен смысл второй части первого закона Ньютона об изменении движений под действием приложенных сил. Иначе говоря, сила не причина движения, а причина изменения движения; силовые характеристики раскрывают связь действия силы с изменением движений (рис. 7).

10.1. Сила и момент силы

Сила — это мера механического действия одного тела на другое. Численно она определяется произведением массы тела на его уско­рение, вызванное данной силой:

Измерение силы, так же как и массы, основано на втором законе Ньютона. Сила, приложенная к данному телу, вызывает его ускорение. Источником силы служит другое тело; следовательно, взаимодей­ствуют два тела. Таким образом, имеется «действие» второго тела на первое и «противодействие» первого тела, приложенное ко второму. Поскольку действие и противодействие приложены к разным телам, их нельзя складывать, заменять равнодействующей. По третьему закону Ньютона — «Действию всегда существует равное и противопо­ложно направленное противодействие» — действия двух тел друг на друга всегда равны и противоположны по направлению. Надо от­четливо понимать, что этот закон справедлив только для инерциальных систем отсчета. При применении неинерциальных систем отсчета помимо взаимодействия тел учитывают еще «фиктивные» силы инер­ции (см. гл. IV).

Хотя чаще всего говорят про силу и результат ее действия, это применимо только к простейшему поступательному движению тела. В движениях человека как системы тел, где все движения частей тела вращательные, изменение вращательного движения зависит не от силы, а от момента силы.

Момент силы — это мера вращающего действия силы на тело; он определяется произведением модуля силы на ее плечо:

Момент силы считают положительным, когда сила вызывает "поворот тела против часовой стрелки, и отрицательным при повороте тела по часовой стрелке (со стороны наблюдателя).

Момент силы — величина векторная: сила проявляет свое вращаю­щее действие, когда она приложена на ее плече (рис. 8, а). Иначе говоря, линия действия силы не должна проходить через ось вращения. Если сила лежит не в плоскости, перпендикулярной к оси, находят составляющую силы, лежащую в этой плоскости (рис. 8, б); она и вызывает момент силы относительно оси. Остальные составляющие на него не влияют. Понятно, что сила, совпадающая с осью или параллельная ей, также не имеет плеча относительно оси, а следо­вательно, нет и ее момента.

1. Плечо силы — кратчайшее расстояние от центра момента, относительно которого берется момент силы, до линии действия силы.

Тяга каждой мышцы образует момент силы относительно оси соответствующего сустава. Силы, извне приложенные к телу во время движения, обычно не проходят через его центр масс, так что возникают моменты сил относительно ЦМ. Силу, не проходящую через точ­ку (например, через ЦМ), в твердом теле можно привести к этой точке.

Тогда видно, что такая сила вызывает не только угловое, но и линейное ускорение тела.

Так, если к оси локтевого сустава (см. рис. 8, в) приложить силу, одинаковую по величине и направлению с силой тяги сгибателя предплечья (Fм) и, чтобы не изменилась действительная картина сил, добавить к этой же_ точке равную по величине и противоположно направленную силу (Fд), то сила тяги мышцы (Fм) и добавленная сила (Fд), образуют пару сил, сгибающую предплечье в локтевом суставе, а сила «перенесенная» (Fп) будет толкать локтевой сустав вверх.

Для такого исследования в материальной системе условно пола­гают, что она отвердела. Тогда ее рассматривают как твердое тело. После такого приведения силы реакции опоры (R) к ЦМ прыгуна в длину в момент приземления (рис. 8, г) добавленная сила (Fд) и опорная реакция (R) образуют момент пары сил, направленной в сторону опрокидывания прыгуна вперед (перекат), а «перенесенная» сила (Fп ) замедлит продвижение ЦМ вперед и вниз.

Определение силы или момента силы, если известна масса или момент инерции, позволяет узнать только ускорение, т. е. как быстро изменяется скорость. Надо еще узнать, насколько именно изменится скорость. Для этого должно быть известно, как долго была приложена сила. Иначе говоря, следует определить импульс силы (или ее момента).