Замена переменной в неопределенном интеграле.
Основную
роль в интегральном исчислении играет
формула замены переменных (или подстановки)
(1).
В
этой формуле предполагается, что
есть непрерывно дифференцируемая
функция на некотором интервале изменения
,
а
- непрерывная функция на соответствующем
интервале или отрезке оси
.
Докажем это утверждение. Слева в (1)
стоит функция, которая является
первообразной от
.
Ее производная по
равна:
Следовательно,
если ввести в этой функции подстановку
,
то получится первообразная от функции
.
Интеграл же справа есть, по определению,
некоторая первообразная от
.
Но две первообразные для одной и той же
функции отличаются на некоторую
постоянную
.
Это и записано в виде первого равенства
(1). Что касается второго, то оно носит
формальный характер - мы просто
уславливаемся писать:
Пример:
.
Билет 29
Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
Пусть даны U и V, тогда по правилу интегрирования по частям
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Правило:
При интегрировании
выражений вида
,
где P(x)-многочлен,
Если
за U
принимаем
Если
за U
принимаем
Пример5.
Билет 30
Интегрирование простейших рациональных дробей
1.
2.
4
.
5.
рассмотрено в пункте 3
рассмотрено в пункте 4.
6. 
8.
-случай
7
9.
Случай
8.
Билет 31
Теорема о разложении рациональной дроби на элементарные.
Теорема 1
Любой многочлен над полем С раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:
Доказательство
Если
,
то все в порядке:
- линейный множитель с вещественными
коэффициентами
Пусть
тогда существует невещественный корень
.
Ему соответствует скобка
.
Тогда
если
– корень, то сопряженный к нему
тоже будет корнем. Тогда наряду с
множителем
будет присутствовать множитель
.
Перемножим эти 2 скобки:
- квадратный трехчлен с вещественными
коэффициентами, что и требовалось
доказать.
Теперь нам нужно доказать, что любые правильные дроби раскладываются на простейшие.
Лемма 1
Пусть
многочлен
представим в виде:
,
где
–
выделили максимальное кол-во скобок (x
– a)
и
– степень числителя меньше степени
знаменателя, тогда
,
причем дробь
-
правильная; если
,
то
;
M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Доказательство
Действуем так же, как в примерах: приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
;
подставим
,
тогда
,
по условию
- нам нужно доказать,
что это – многочлен, а не дробь. Подставим
x
= a,
числитель при такой подстановке =
0, а это значит,
что многочлен
делится на
,
т.е. M(x)
– многочлен с действительными
коэффициентами.
Теперь
докажем, что дробь
- правильная, т.е. что
.
Степень
знаменателя дроби = n-1,
для числителя ( M(x)):
по условию
и
,
да еще делим на (x-a)
(
),
значит
- меньше степени знаменателя, что и
требовалось доказать.
Лемма 2
Если
многочлен Q(x)
имеет комплексный корень кратности k,
т е представим в виде
,
при этом многочлен
имеет только комплексные корни, которые
не являются корнями N(x).
,
тогда дробь можно представить в виде:
,
причем вторая дробь будет правильной.
M(x)
– многочлен с действительными
коэффициентами.
Доказательство
Снова
приведем дробь к общему знаменателю и
приравняем числители. Получим
Пусть
,
-
корень многочлена
,
,
значит сопряженное к нему
тоже
корень. Подставим
и
:
; 
Найдем определитель системы, чтобы
выяснить, имеет она решения, или нет:
,
значит, система разрешима и существуют
A
и B
– решения системы, нужно доказать, что
,
заменим A
и B
на
:
,
решим сопряженную систему:
- получили исходную систему;
так
как столбец
-
решение, столбец
является решением. А т.к. решение должно
быть единственным (определитель
),
;
M(x)
находится аналогично Лемме
1 ; теорема
доказана.
Обобщая все вышесказанное, получаем: «Теорему о разложении на простейшие дроби»:
Пусть
многочлен
представим в виде:
и положим
,
тогда
Заметим, что в самой последней дроби степень числителя (первая) меньше степени знаменателя (вторая) , т.е. последняя дробь – правильная. И каждую из дробей-слагаемых мы можем проинтегрировать в элементарных функциях.
Общий вывод: Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
Билет 32