- •Модуль непрерывности. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке
- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную. Геометрический смысл производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Билет 4 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Производная обратной функции. Производные элементарных функций.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое условие, достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля. Геометрический и физический смысл.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема Лагранжа. Геометрический и физический смысл. Формула конечных приращений.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций с остаточными членами в форме Пеано, Лагранжа, Коши. Единственность разложения.
- •Формула Тейлора для основных элементарных функций.
- •Билет 22 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Асимптота. Виды асимптот. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Теорема о разложении рациональной дроби на элементарные.
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование выражений вида .
- •Тригонометрические подстановки.
Билет 4 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
Если функция f имеет производную f΄(xo) в точке xo, то существует предел , где
Δf = f(xo+Δx) – f(xo), , или , где A=f΄(xo).
Определение:
Функция f дифференцируема в точке xo, если ее приращение представимо в виде:
, где AΔx=df. (*)
Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.
Если существует конечная производная f΄(xo) в точке xo, то функция f(x) дифференцируема в этой точке.
В ерно и обратное: если функция f дифференцируема в точке xo, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке xo, равную A:
Геометрический смысл дифференциала:
A и B – точки графика f(x), соответствующие значениям xo и (xo+Δx) независимой переменной. Ординаты точек A и B соответственно равны f(xo) и f(xo+Δx). Приращение функции Δf=f(xo+Δx)-f(xo) в точке xo равно длине отрезка BD и представимо в виде суммы Δf=BD=DC+CB, где DC=tgαΔx=f΄(xo)Δx и α есть угол между касательной в точке A к графику и положительным направлением оси x. Отсюда видно, что DC есть дифференциал функции f в точке xo:
DC=df=f΄(xo)Δx.
При этом на долю второго члена CB приращения Δf приходится величина . Эта величина, при больших Δx, может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx, когда Δx→0.
Билет 5
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Пусть функция имеет производную в точке (конечную): .
Тогда для достаточно малых можно записать в виде суммы и некоторой функции, которую мы обозначим через , которая стремится к нулю вместе с : ,
и приращение в точке может быть записано в виде:
или (1)
ведь выражение понимается как функция от такая, что ее отношение к стремится к нулю вместе с . Пояснение:
Определение.
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде: (2),
где А не зависит от , но вообще зависит от .
Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
Доказательство:
Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления в виде (1), где можно положить .
Необходимость условия. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда из (2), предполагая , получаем .
Предел правой части при существует и равен А: .
Это означает, что существует производная . Теорема доказана.
Билет 6
Арифметические свойства производной.
Пусть f = f(x) и g = g(x) – функции, имеющие конечные производные в точке x0, тогда справедливы равенства:
где k – константа
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.
2.
Заметим, что функция f , как имеющая производную, непрерывна, и потому при
3.
Билет 7